习题 16, § 9

a) 取$\mathfrak{g}$为型$F_4$，并使用第1章的记号。 VI，板VIII。如果$i= 1,2,3,4$，则将

$E(\varpi_i)$的权的集合是$W\omega$的不相交的并，其中$\omega$属于到$\mathscr{X}_i$（cf.§7，提案5（iv））。我们有：

b) 通过 Th 显示。 2、即：

暗淡$E(\varpi_1) = 52$，暗淡$E(\varpi_2) = 1274$，暗淡$E(\varpi_3) = 273$，暗淡$E(\varpi_4) = 26$。 c) 通过使用第 1 章。 V, §3，第 1 号提案，以及第 1 章的板块。 VI，证明

卡(W$\varpi_1$)$= 2^73^22^{-3}$(3!)$^{-1}= 24$。

计算卡(W$\varpi_2$)$, . . .$，卡(W$.2\varpi_4$)类似。推导出$E(\varpi_2)$权数为553；由于这个数严格小于dim$E(\varpi_2)$，因此其中一个权是重数$\geq 2$。 d) 对 $\varpi_1, \varpi_3, \varpi_4$ 进行类似计算。通过使用 Exerc。 §7的21，推导出，如果$\rho$是$\mathfrak{g},\rho$的非零简单表示，则承认重数$\geq 2$的权。

e) 证明型 $E_8$ 的单代数具有相同的结果。

f) 令 $\mathfrak{a}$ 为可分割的简单李代数。由$d),e)$和§7等价的第7条和第8条推导出以下性质：

(i) $\mathfrak{a}$ 承认一个非零简单表示，其所有权均为重数 1；

(ii) $\mathfrak{a}$ 既不是型 $F_4$ 也不是型 $E_8$。