§ 3. 。表示 · 李群与李代数

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§ 3。表示

1. Representations

定义 1 09VS

令 $g$ 为李代数超过 $K$ 且 $M$ 为 $K$ 模。 $g$ 的同态进入李代数 $gl(M)$ 在模 $M$ 上称为 $g$ 的表示。单射表示称为忠实的。如果 $K$ 是域， $M$ 超过 $K$ 的维数（有限或无限）被称为表示的维数。 $K$ 模 $g$ 上 $g$ 的表示 $x \mapsto \operatorname{ad} x$ 称为 $g$ 的伴随表示。

被以下引用 1

被以下引用 III § 3. 。从李群到李代数的通道

因此， $M$ 上 $g$ 的表示是 $g$ 的 $K$ 线性映射 $\rho$ 到自同态模的 $M$ ，使得

\rho([x, y]) \cdot m = \rho(x) \rho(y) \cdot m - \rho(y) \rho(x) \cdot m

对于所有 $x \in g, y \in g, m \in M$ 。

例 09VT

设 G 为实李群，g 为李代数，θ 为 G 在有限维实数向量空间 E 上的解析表示。那么 g 的相应的同态到 gl(E) 中就是 g 在 E 上的表示。

令 U 为 g 的包络代数。 M 上 g 的表示集合和 M 上 U 的表示集合之间的§ 2, no. 1 定义命题 1 是一对一的对应。另一方面，我们知道 (代数, 章) VIII, § 13, no. 1) 关联性代数 U 与左 U 模的表示的概念之间存在等价。

引用了 2

引用了 A VIII § 13. 。绝对半单代数, 命题 1, I § 2

定义 2 09VU

设 g 为 K 上的李代数，U 为它的包络线代数。 U 上的酉左模称为左 g 模，或简称为 g 模。

引用了 3

引用了 A VIII § 1. 。阿廷模与诺特模, I § 2. 。包络代数的李代数, A VIII § 3. 。单模

如果 M 是 g 模且 x ∈ U，则 x_M 将表示由 x (cf. 代数, 章 VIII, § 1, no. 2) 定义的 M 的位似。

U 上的酉右模称为右 g 模。这样的模用左U^0模来标识，即(§ 2, no. 4)用左g^0模来标识。

令 φ 为 U 的主要反自同构。如果 M 是右 g 模，则通过对 m ∈ M 和 a ∈ U 写出 a.m = m.φ(a) 来在 M 上定义左 g 模结构。

概念和模的理论结果可以翻译成表示的语言：

(1) 如果 g 模 M 和 M' 同构的，则 M 和 M' 上 g 的两个表示 ρ 和 ρ' 被称为“相似”或“同构的”。为此，存在 K-模 M 的同构 u 到 K-模 M' 是必要且充分的，使得

\rho'(x) = u \circ \rho(x) \circ u^{-1}

对于所有 x ∈ g。

(2) 对于所有 i ∈ I，令 ρ_i 为 M_i 上 g 的表示。令 M 为 g 模 M_i 的 g 模直和。 M 上存在 g 的相应的表示 ρ，称为 ρ_i 的直和，并用 $\sum_{i \in I} \rho_i$ 表示（或在 n 表示 $\rho_1, \ldots, \rho_n$ 的情况下用 $\rho_1 + \cdots + \rho_n$ 表示）。如果 $m = (m_i)_{i \in I}$ 是 M 的元素且 x ∈ g，则 $\rho(x).m = (\rho_i(x).m_i)_{i \in I}$ 。

(3) 如果相关的 g 模很简单，则 M 上 g 的表示 ρ 称为“简单”或“不可约”。这相当于说在所有 $\rho(x), x \in g$ 下不存在稳定的M（除了{0}和M）的子K模。简单 g 模的类 (代数, 章 VIII, § 3, no. 2) 定义 g* 的简单表示的 *类。

(4) 如果相关的 g 模为半单，则 M 上 g 的表示 ρ 称为半单或 完全可约化。这相当于说 ρ 类似于简单表示的直和或者每个子 K 模

M 在 $\rho(x)$ ( $x \in g$ ) 下稳定，在 $\rho(x)$ ( $x \in g$ ) 下稳定补充 (cf. 代数, 章 VIII, § 3, no. 3)。

(5) 令 $\delta$ 为 $g$ 相应的的简单表示到简单 $g$ 模块的类C的类。另一方面，令 $\rho$ 为M上 $g$ 的表示。 $g$ 模M的类C的同型组件 $M_C$ （*代数*，章VIII, § 3, no. 4）也称为* 类* $\delta$ 的 M 的同型成分。该组件是 $\rho(x)$ 下稳定的 M 子 K 模块中的和，其上有类 $\delta$ 的 $\rho(x)$ 诱导表示；它是其中某些子模中的直和；如果 $M_C$ 是长度 $n$ ，则 $\rho$ 被称为*包含* $\delta$ *n次*。不同 $M_C$ 的和是直接的；当且仅当 $\rho$ 是半单时，它才等于M。

(6) 设 $\rho, \rho'$ 为 $g$ 之二表示。如果 $\rho'$ 的模是 $\rho$ 的模的子模（或商模）， $\rho'$ 被称为 $\rho$ 的*子表示*（或表示*）。

令 M 为 K-模。 M 上的定义上的 $g$ 的零表示 $g$ 模块结构。这样结构 M 就被称为*平凡* $g$ 模块。

设 M 为 $g$ 模。 M 的子 $g$ 模的商 $g$ 模也是M的商模的子 $g$ 模：它们是通过考虑M的两个子 $g$ 模U、 $U'$ 使得 $U \supset U'$ 并形成 $g$ 模而获得的 $U/U'$ 。那么，如果上述型的所有单模同构于给定的简单 $g$ 模块N，则M称为类* N的*纯* $g$ 模块*。如果 $\rho$ 和 $\sigma$ 是表示 $g$ 相应的对于M和N，我们也说 $\rho$ 是类* $\sigma$ 的*纯。

设 $M'$ 是M的子 $g$ 模。对于M是类N的纯模， $M'$ 和 $M/M'$ 是类N的纯模是充分必要的。对于条件显然是必要的。假设它成立并令U， $U'$ 是M的子 $g$ 模，使得 $U' \subset U$ 和 $U/U'$ 是简单的；设 $\phi$ 是M的典范同态到 $M/M'$ ；如果 $\phi(U) \neq \phi(U')$ ， $U/U'$ 是同构到 $\phi(U)/\phi(U')$ ，因此与N同构；如果 $\phi(U) = \phi(U')$ ，则 $U \subset U' + M'$ ，因此 $U/U'$ 同构于 $(U' + M')/U'$ 的简单子模，而后者模本身同构于 $M'/(U' \cap M')$ ；因此 $U/U'$ 再次同构于 N，因此 M 是类 N 的纯元素。

从此以后，让M是一个 $g$ 模块，并假设M的子 $g$ 模块中的集合是纯粹的类N，承认极大元素 $M'$ 。那么纯类 N 的M 的每一个子模 $M''$ 都包含在 $M'$ 中。因为 $M''/(M' \cap M'')$ 和 $M'$ 是类 N 的纯原子，因此根据上述， $M' + M''$ 是类 N 的纯原子，因此 $M' + M'' \subset M'$ 。

假设 $g$ -模 M 承认 Jordan-Hölder 级数 $(M_i)_{0 \leq i \leq n}$ 。为了使 M 是类 N 的纯元素， $M_0/M_1, M_1/M_2, \ldots, M_{n-1}/M_n$ 与 N 同构是充分必要的；因为条件显然是必要的，从我们上面看到的来看，它的充分性紧随 $n$ 上的归纳。

命题 1 09VV

设 g 为 K 上的李代数，且 a 为 g 的理想值。设 M 为 g 模块*， $N$ 为简单的 $a$ 模块。将 $M$ 视为 $a$ 模块，并假设 $M$ 的子 $a$ 模块中的集合是纯类 $N$ 承认极大元素 $M'$ 。那么 $M'$ 是 $M$ 的子 $g$ 模块。

被以下引用 1

被以下引用推论

让 $y \in g$ 。令 $\phi$ 为 $M$ 的典范映射到 $M/M'$ ，并将 $M'$ 的 $f$ 映射 $m \mapsto \phi(y_M \cdot m)$ 到 $M/M'$ 。只要证明 $f(M') = \{0\}$ 就足够了。让 $x \in a$ 。那么，对于 $m \in M$ ，

x_{M/M'} \cdot f(m) = \phi(x_M y_M \cdot m) = \phi(y_M x_M \cdot m) + \phi([x, y]_M \cdot m).

现在 $[x, y] \in a$ ，从而 $\phi([x, y]_M \cdot m) = 0$ ；另一方面，

\phi(y_M x_M \cdot m) = f(x_M \cdot m).

因此 $x_{M/M'} \cdot f(m) = f(x_M \cdot m)$ 。由此可见， $f(M')$ 是 $M/M'$ 的子 $a$ 模，与 $M'$ 的商同构，因此是类 $N$ 的纯模；因此 $f(M') = \{0\}$ 。

推论 09VW

令 $g$ 为李代数超过 $K$ ，并且 $a$ 为 $g$ 的理想值。令 $M$ 为简单的 $g$ 模块，有限长度为 $K$ 模块。存在一个简单的 $a$ -模块 $N$ ，使得 $M$ 是类 $N$ 的纯 $a$ -模块。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 1

被以下引用推论 4, I § 6

由于 $a$ 模块 $M$ 属于有限长度，因此 $M$ 的子 $a$ 模块的集合中存在最小元素 $N$ ：它是 $M$ 的简单子 $a$ 模块。 The largest sub- $a$ -module of $M$ which is pure of species $N$ is therefore $\neq \{0\}$ and is a sub- $g$ -module of $M$ (Proposition 1) and is therefore identical with $M$ .

2. 张量积表示

我们在no. 1直和中定义了 $g$ 的表示族。我们现在将定义其他运算放在表示上。

令 $g_1, g_2$ 是 $K$ 上的两个李代数，并且 $M_i$ 是一个 $g_i$ 模（ $i = 1, 2$ ）。令 $U_i$ 为 $g_i$ 的代数和 $g_i$ 的 $\sigma_i$ 典范映射到 $U_i$ 的包络。那么 $M_i$ 是左 $U_i$ 模块，因此 $M_1 \otimes_K M_2$ 具有规范的左 $(U_1 \otimes_K U_2)$ 模块结构。现在 $U_1 \otimes_K U_2$ 是 $g_1 \times g_2$ 的包络代数，映射 $(x_1, x_2) \mapsto \sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)$ 是 $g_1 \times g_2$ 的典范映射进入这个包络代数（§ 2, no. 2）。因此， $M = M_1 \otimes_K M_2$ 上存在一个 $(g_1 \times g_2)$ 模块结构，使得：

\begin{align*} (1) \quad (x_1, x_2)_M \cdot (m_1 \otimes m_2) &= (\sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)) \cdot (m_1 \otimes m_2) \\ &= ((x_1)_{M_1} \cdot m_1) \otimes m_2 + m_1 \otimes ((x_2)_{M_2} \cdot m_2). \end{align*}

$M$ $g_1 \times g_2$ 的结构定义表示。

如果现在将 $g$ 的 $g_1 = g_2 = g$ 、同态 $x \mapsto (x, x)$ 放入 $g \times g$ ，由上述 $M$ 上的 $g$ 的表示、定义表示组成，因此是 $g$ 模块 $M$ 上的结构使得：

(2) \quad x_M \cdot (m_1 \otimes m_2) = (x_{M_1} \cdot m_1) \otimes m_2 + m_1 \otimes (x_{M_2} \cdot m_2).

通过类似的论证，我们看到：

命题 2 09VX

令 $g$ 是李代数超过 $K$ 和 $M_i$ 一个 $g$ 模（ $1 \leq i \leq n$ ）。在张量积 $M_1 \otimes_K M_2 \otimes \cdots \otimes M_n$ 上，存在且仅有一个 $g$ 模块结构，使得

x_M \cdot (m_1 \otimes \cdots \otimes m_m) = \sum_{t=1}^n m_1 \otimes \cdots \otimes (x_{M_t} \cdot m_i) \otimes \cdots \otimes m_n

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 I § 2. 。包络代数的李代数, 命题 7, I § 2

被以下引用 § 3. 。表示

对于所有 $x \in g, m_1 \in M_1, \ldots, m_n \in M_n$ 。

相应的表示称为 $M_i$ 上 $g$ 的给定表示的*张量积*。

特别是，如果 $M$ 是一个 $g$ 模块，则命题2定义在每个 $M_p = \bigotimes^p M$ 上有一个 $g$ 模块结构，因此在 $M$ 的张量代数 $T$ 上。

公式 (3) 表明，对于所有 $x \in g, x_T$ 来说，代数 $T$ 扩展 $x_M$ 都是唯一的推导。我们知道（§ 2, no. 8）经过上的 $x_T$ 定义除以 $M$ 的对称代数 $S$ 的商推导。因此， $S$ 可以被视为 $T$ 的商 $g$ 模，而 $x_S$ 是 $S$ 的推导。

更具体地，通过 $g$ 的伴随表示将 $g$ 视为 $g$ 模。令 $U$ 为 $g$ 的包络代数。通过 § 2 的命题 7，经过上的 $x_M$ 定义到 $U$ 的商推导，即由 $\sigma(x)$ 定义的内部推导（ $\sigma$ 表示 $g$ 的典范映射变为 $U$ ）。那么 $U$ 可以被认为是 $T$ 的商 $g$ 模。如果 $K$ 是特征0的域，则 $S$ 到 $U$ 的典范同构是 $g$ 模同构（§ 2, no. 8）。

3. 表示同态模

再次让 $g_1$ 和 $g_2$ 是李代数超过 $K$ 和 $M_i$ 一个 $g_i$ 模（ $i = 1, 2$ ）。令 $U_i$ 为 $g_i$ 的代数和 $g_i$ 的 $\sigma_i$ 典范映射到 $U_i$ 的包络。那么 $M_i$ 是左 $U_i$ 模块，因此 $\mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ 具有规范的左 $(U_1^0 \otimes U_2)$ 模块结构。现在 $U_1^0 \otimes_K U_2$ 是 $g_1^0 \times g_2$ 和映射的包络代数

(x_1, x_2) \mapsto \sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)

是典范映射的 $g_1^0 \times g_2$ 到这个包络线代数中。因此， $M = \mathscr{L}_K(M_1, M_2)$ 上存在一个 $(g_1^0 \times g_2)$ 模块结构，使得

((x_1, x_2)_M \cdot u) \cdot m_1 = ((\sigma_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma_2(x_2)) \cdot u) \cdot m_1 \\ = u((x_1)_{M_1} \cdot m_1) + (x_2)_{M_2} \cdot u(m_1)

对于所有 $u \in \mathscr{L}_K(M_1, M_2), m_1 \in M_1$ 。 $M$ $g_1^0 \times g_2$ 的结构定义表示。

如果现在将 $g$ 的 $g_1 = g_2 = g$ 、同态 $x \mapsto (-x, x)$ 放入 $g^0 \times g$ ，由上述 $M$ 上的 $g$ 的表示、定义表示组成，因此是 $g$ 模块 $M$ 上的结构使得

(x_M \cdot u) \cdot m_1 = x_{M_2} \cdot u(m_1) - u(x_{M_1} \cdot m_1)

或

x_M \cdot u = x_{M_2} u - u x_{M_1}.

将这些结果与命题 2 结合起来，我们可以看到：

命题 3 09VY

设 $g$ 是李代数超过 $K$ 和 $M_i$ 一个 $g$ 模（ $1 \leq i \leq n + 1$ ）。令 $N$ 为 $\prod_{i=1}^n M_i$ 到 $M_{n+1}$ 的多线性映射的 $K$ 模 $\mathscr{L}_K(M_1, \ldots, M_n; M_{n+1})$ 。 $N$ 上存在且仅有一个 $g$ 模块结构，使得

被以下引用 1

被以下引用推论 1, III § 3

(x_N \cdot u)(m_1, \ldots, m_n) = - \sum_{i=1}^n u(m_1, \ldots, x_{M_i} \cdot m_i, \ldots, m_n)

+ x_{M_{n+1}} \cdot u(m_1, \ldots, m_n)

对于所有 $x \in g, u \in N$ 和 $m_i \in M_i$ ( $1 \leq i \leq n$ )。

特别是，让 $g$ 比 $K$ 和 $M$ 是 $g$ 模块的李代数，并将 $K$ 视为平凡的 $g$ 模块。命题 3 定义 $\mathscr{L}_K(M, K) = M^*$ 上的 $g$ 模块结构。相应的表示被称为表示 $x \mapsto x_M$ 的*对偶的*表示。我们有：

(x_{M^*} \cdot f)(m) = -f(x_M \cdot m)

对于所有 $x \in g, f \in M^*, m \in M$ 。在其他字中：

x_{M^*} = -{}^t x_M.

当 $K$ 为域且 $M$ 为有限维时， $g$ -模 $M$ 是简单的（或半单）当且仅当 $g$ -模 $M^*$ 是简单的（或半单）。

命题 4 09VZ

令 $M_1, M_2$ 为两个 $g$ 模块。典范的 $K$ 线性映射*（代数、章 II, § 4, no. 2、命题 2 和 no. 1、命题 1）：

引用了 2 · 被以下引用 6

引用了命题 1, A II § 4, 命题 2, A II § 4

被以下引用习题 10, § 3, 习题 4, § 3, 例 2, 例 3, 推论 3, I § 6, 例 3, VII § 2

M_1^* \otimes_K M_2 \xrightarrow{\phi} \mathscr{L}_K(M_1, M_2), \quad \mathscr{L}_K(M_1, M_2^*) \xrightarrow{\psi} (M_1 \otimes_K M_2)^*

（其中第二个是双射） 是 $g$ -模块同态。

我们写

N = M_1^* \otimes M_2, \quad P = \mathscr{L}(M_1, M_2), \quad Q = \mathscr{L}(M_1, M_2^*), \quad R = (M_1 \otimes M_2)^*.

那么，对于 $x \in g, f \in M_1^*, m_1 \in M_1, m_2 \in M_2$ ，

((\phi x_N)(f \otimes m_2)) \cdot m_1 = (\phi(x_{M_1^*} f \otimes m_2 + f \otimes x_{M_2} m_2)) \cdot m_1 \\ = \langle x_{M_1^*} f, m_1 \rangle m_2 + \langle f, m_1 \rangle x_{M_2} m_2

((x_P \phi)(f \otimes m_2)) \cdot m_1 = x_{M_2}(\phi(f \otimes m_2) \cdot m_1) - \phi(f \otimes m_2)(x_{M_1} m_1) \\ = \langle f, m_1 \rangle x_{M_2} m_2 - \langle f, x_{M_1} m_1 \rangle m_2

因此 $\phi x_N = x_P \phi$ 。另一方面，对于 $x \in g, u \in \mathscr{L}(M_1, M_2^*), m_1 \in M_1, m_2 \in M_2$ ：

(\psi x_Q u)(m_1 \otimes m_2) = \langle (x_Q u) \cdot m_1, m_2 \rangle = \langle x_{M_2^*} u m_1 - u x_{M_1} m_1, m_2 \rangle \\ (x_R \psi u)(m_1 \otimes m_2) = -\langle \psi u, x_{M_1} m_1 \otimes m_2 + m_1 \otimes x_{M_2} m_2 \rangle \\ = -\langle u x_{M_1} m_1, m_2 \rangle - \langle u m_1, x_{M_2} m_2 \rangle

因此 $\psi x_Q = x_R \psi$ ，它完成了证明。

$g$ -模块 $\mathscr{L}(M_1, M_2^*)$ 和 $(M_1 \otimes M_2)^*$ 在同构 $\psi$ 下标识。如果 $M_1$ 和 $M_2$ 有有限的基，则 $\phi$ 是同构（代数，章II, § 4, no. 2，命题2），这允许我们对 $g$ 模块进行认同 $M_1^* \otimes M_2$ 和 $\mathscr{L}(M_1, M_2)$ ；在这种情况下，我们可以使用认同、 $g$ 模块 $M_1^* \otimes M_2^*, \mathscr{L}(M_1, M_2^*)$ 和 $(M_1 \otimes M_2)^*$ 。

4. 例

例 1 09W0

令 $g$ 为李代数超过 $K$ ，并且 $M$ 为 $g$ 模。 $M$ 上的 $g$ -模块结构和 $K$ 定义上的普通 $g$ -模块结构以及 $M$ 上双线性形式的 $K$ -模块 $N = \mathscr{L}(M, M; K)$ 上的 $g$ -模块结构。然后

(x_N \cdot \beta)(m, m') = -\beta(x_M \cdot m, m') + \beta(m, x_M \cdot m')

对于 $M, \beta \in N$ 中的所有 $x \in g, m, m'$ 。如果 $\beta$ 是 $N$ 的给定元素， $x \in g$ 的集合，则 $x_N \cdot \beta = 0$ 是 $g$ 的子代数。

令 $M$ 为 $K$ 模块， $\beta$ 双线性形式位于 $M$ 上。由上可知，集合 / $x \in gl(M)$ 使得

\beta(x \cdot m, m') + \beta(m, x \cdot m') = 0

对于所有 $m \in M$ 和 $m' \in M$ 是 $gl(M)$ 的谎言子代数。假设 $K$ 是域， $M$ 是有限维的， $\beta$ 是非简并的。那么每个 $x \in gl(M)$ 承认一个左伴随 $x^*$ （相对于 $\beta$ ），它到处都有定义，并且所讨论的子代数是 $x \in gl(M)$ 的集合，使得 $x^* = -x$ 。通过这个过程我们可以得到构造和李代数两个重要的例：

(a) 取 $M = K^n$ 并

\beta((\xi_1, \ldots, \xi_n), (\eta_1, \ldots, \eta_n)) = \xi_1 \eta_1 + \cdots + \xi_n \eta_n.

我们典型地认同 $gl(K^n)$ 与 $M_n(K)$ 。那么得到的李代数就是斜对称矩阵的李代数。 *（当 $K = \mathbf{R}$ 时，这个代数是正交群 $O(n, \mathbf{R})$ 的李代数）。

(b) 取 $M = K^{2m}$ 并且

\beta((\xi_1, \ldots, \xi_{2m}), (\eta_1, \ldots, \eta_{2m})) = \xi_1 \eta_{m+1} - \eta_1 \xi_{m+1} + \cdots + \xi_m \eta_{2m} - \eta_m \xi_{2m}.

\beta

的矩阵相对于

K^{2m}

的典范基为矩阵

\begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}.

令

U = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

相对于

\mathrm{gl}(M)

的元素

u

K^{2m}

典范基为矩阵（

A, B, C, D

位于

\mathbf{M}_m(K)

）。由*代数*的公式(50)、章IX, § 1, no. 10、

u^*

相对于同样的基矩阵有

\begin{pmatrix} 0 & -I_m \\ I_m & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} tA & tC \\ tB & tD \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} tD & -tB \\ -tC & tA \end{pmatrix}.

因此，条件

u^* = -u

相当于条件

D = -tA \quad B = tB \quad C = tC.

*当

K = \mathbf{R}

时，得到的李代数是辛群

\mathbf{Sp}(2m, \mathbf{R})

的李代数。

被以下引用 1

被以下引用例 2

例 2 09W1

我们保留 例 1 的记号。

$M$ 的自同态的 $K$ -模块 $P = \mathscr{L}_K(M, M)$ 上的 $g$ -模块结构 $M$ 定义上的 $g$ -模块结构。根据 (6)，对于所有 $x \in g$ 和 $u \in P$ ：

(11)

x_P \cdot u = [x_M, u] = (\mathrm{ad}\, x_M) \cdot u

其中

\mathrm{ad}\, x_M

表示在

\mathrm{gl}(M)

的伴随表示下的

x_M

的像。其他字：

(12)

x_P = \mathrm{ad}\, x_M

在

\mathscr{L}(\mathscr{L}(M, M)) = \mathscr{L}(\mathrm{gl}(M))

。

引用了 1

引用了例 1

5. 不变量元素

定义 3 09W2

令 $g$ 为李代数，且 $M$ 为 $g$ 模。如果 $x_M \cdot m = 0$ 对于所有 $x \in g$ ，元素 $m \in M$ 被称为不变性（相对于 $M$ 上的 $g$ 模块结构或相对于 $g$ 的相应的表示）。

被以下引用 1

被以下引用推论 3, III § 6

设 $G$ 是连通的实李群， $g$ 是李代数， $\theta$ 是 $G$ 在有限维实数向量空间 $E$ 和 $\rho$ 相应的上的解析表示 $E$ $g$ 的表示。让 $m \in E$ 。元素 $m$ 相对于 $\rho$ 不变，当且仅当 $\theta(g) \cdot m = m$ 对于所有 $g \in G$ 。这证明了使用字“不变”的合理性。

例 1 09W3

令 $M, N$ 为两个 $g$ 模块和 $P = \mathscr{L}_K(M, N)$ 。为了使 $P$ 的元素 $f$ 保持不变，根据(6)， $f$ 是 $g$ -模块 $M$ 到 $g$ -模块 $N$ 的同态是必要且充分的。特别是，如果 $M = N$ 和 $x_M = x_N$ 对于所有 $x \in g$ ，当且仅当 $f$ 可与 $x_M$ 置换时， $f$ 是不变的。

被以下引用 2

被以下引用例 2, 例 3

例 2 09W4

设 M 为 K-模，且基有限。如果M具有g模结构，则 $\mathscr{L}(M, M)$ 和 $M^* \otimes M$ 具有g模结构，并且 $M^* \otimes M$ 到 $\mathscr{L}(M, M)$ 的典范映射是g模同构（命题4）。由于 $1 \in \mathscr{L}(M, M)$ 显然是一个不变量（cf.例1）， $M^* \otimes M$ 的相应的元素 $u$ 是一个不变量。如果 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是M的基并且 $(e_i^*)_{1 \leq i \leq n}$ 是对偶基，我们有 $u = \sum_{i=1}^n e_i^* \otimes e_i$ 。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了例 1, 命题 4

被以下引用例 3

例 3 09W5

设 M 为 g 模。令 M 上的 $\beta$ 为双线性形式，并且 $\mathscr{L}(M, M^*)$ 的 f 相应的元素。为了使 $\beta$ 保持不变，f是g模同态（命题4和例1）是充分必要的。假设 K 为域且 $\dim_K M < +\infty$ 。 g 模块 M 的 M 定义同构上的非简并不变双线性形式 $\beta$ 到 g 模块 $M^*$ 上，因此 g 模块 $M \otimes M$ 的同构到 g 模块 $M^* \otimes M$ 上。因此，通过例 2，在g-模 $M \otimes M$ 中给 $\beta$ 定义规范地一个不变量元素c，其可以构造如下：令 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 为M的基且为M的 $(e'_i)_{1 \leq i \leq n}$ 基，这样那个 $\beta(e_i, e'_j) = \delta_{ij}$ ；然后 $c = \sum_{i=1}^n e_i \otimes e'_i$ 。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了例 1, 例 2, 命题 4

被以下引用命题 11

命题 5 09W6

设g是谎言K-代数，h是g的理想，g在M上的 $\rho$ 表示以及 $\rho$ 到h的 $\rho'$ 限制。那么M关于 $\rho'$ 的不变量的元素的集合N在 $\rho(g)$ 下是稳定的。

被以下引用 3

被以下引用引理 2, I § 4, 定理 1（恩格尔）, I § 4, 命题 8, VII § 5

设 $n \in N$ 和 $y \in g$ ；对于所有 $x \in h, [x, y] \in h$ 因此

\rho(x)\rho(y)n = \rho([x, y])n + \rho(y)\rho(x)n = 0;

因此

\rho(y)n \in N

。

命题 6 09W7

设 M 为半单 g 模。那么M的不变量元素的子模 $M_0$ 承认唯一一个在 $x_M$ 下稳定的补充，即由 $x_M.m$ （ $x \in g, m \in M$ ）生成的子模 $M_1$ 。

被以下引用 5

被以下引用习题 9, § 3, 习题 19, § 6, 命题 13, VII § 1, 命题 7, VII § 5, 定理 1, VIII § 10

令 $M'$ 为M的子模，它在M中 $M_0$ 的 $x_M$ 和补充下是稳定的。对于所有具有 $m_0 \in M_0, m' \in M'$ 的 $m \in M, m = m_0 + m'$ ，因此 $x_M m = x_M m' \in M'$ 。因此 $M_1 \subset M'$ 。设 $M_2$ 为 $M'$ 的子模，在 $x_M$ 下稳定，并补充 $M'$ 中的 $M_1$ 。对于所有 $m \in M_2$ ，

x_M m \in M_2 \cap M_1 = \{0\}

对于所有

x \in g

，因此

m \in M_0

，因此

m = 0

。因此

M_2 = \{0\}

，证明了

M_1 = M'

。

6. Invariant bilinear forms

令 g 为 K 上的李代数。 g 在 g 上的伴随表示和 g 在 K 上的零表示定义 K-模上的 g 模结构

$g$ 上的双线性形式 $N = \mathscr{L}(g, g; K)$ 。简而言之，如果表示 $x \mapsto x_N$ 下不变，则 $g$ 上的双线性形式 $\beta$ 是“不变量”。根据公式 (10)，必要且充分的条件为：

\beta([x, y], z) = \beta(x, [y, z])

对于 $g$ 中的所有 $x, y, z$ 。

现在令 $\mathfrak{d}$ 为 $g$ 的推导的李代数。 The identity representation of $\mathfrak{d}$ and the zero representation of $\mathfrak{d}$ on $K$ define a representation $D \mapsto D_N$ of $\mathfrak{d}$ on $N$ . 简而言之，如果表示 $D \mapsto D_N$ 下不变，那么 $g$ 上的双线性形式是*完全不变的*。完全的不变双线性形式是不变的。为了使 $g$ 上的双线性形式 $\beta$ 完全不变，有必要且充分：

\beta(Dx, y) + \beta(x, Dy) = 0

对于 $g$ 和 $D \in \mathfrak{d}$ 中的所有 $x, y$ 。

命题 7 09W8

令 $g$ 为李代数， $\beta$ 为 $g$ 上的不变对称双线性形式，而 $a$ 为 $g$ 的理想。

被以下引用 2

被以下引用命题 5, I § 5, 推论 2, I § 5

(a) $a$ 相对于 $\beta$ 正交的 $a'$ 是 $g$ 的理想。 (b) 如果 $a$ 是特征性且 $\beta$ 完全不变，则 $a'$ 是特征性。 (c) 如果 $\beta$ 是非简并的， $a \cap a'$ 是可交换的。

设 $D$ 为 $g$ 的推导。假设 $a$ 在 $D$ 下稳定，并且 $\beta(Dx, y) + \beta(x, Dy) = 0$ 在 $g$ 下稳定于 $x, y$ 。那么 $z \in a'$ 意味着 $Dz \in a'$ ，因为对于所有 $t \in a$ 、 $Dt \in a$ ，因此 $\beta(Dz, t) = -\beta(z, Dt) = 0$ 。因此 $a'$ 在 $D$ 下是稳定的。这就建立了(a)和(b)。

现在令 $b$ 为 $g$ 的理想，并假设 $\beta$ 到 $b$ 中的限制为零。对于 $b$ 和 $z \in g$ 中的 $x, y$ ， $\beta([x, y], z) = \beta(x, [y, z]) = 0$ ，对于 $[y, z] \in b$ 。因此 $[b, b]$ 与 $g$ 正交。如果 $\beta$ 是非简并的，则 $b$ 是可交换的。这个结果应用于 $a \cap a'$ 证明了(c)。

定义 4 09W9

令 $g$ 为李 $K$ 代数， $M$ 为 $g$ 模。假设 $M$ 被视为 $K$ 模，承认有限的基。与 $g$ 模块 $M$ （或与相应的表示）相关联的双线性形式是 $g$ 上的对称双线性形式 $(x, y) \mapsto \operatorname{Tr}(x_M y_M)$ 。如果所讨论的表示是伴随表示，则相关的双线性形式称为 $g$ 的杀戮形式。

命题 8 09WA

令 $g$ 为李代数，且 $M$ 为 $g$ 模块。假设 $M$ 被视为 $K$ 模，承认有限的基。与 $M$ 相关的双线性形式是不变的。

对于 $g$ 中的 $x, y, z$ ，我们有：

\begin{align*} \operatorname{Tr}([x, y]_M z_M) &= \operatorname{Tr}(x_M y_M z_M) - \operatorname{Tr}(y_M x_M z_M) = \operatorname{Tr}(x_M y_M z_M) - \operatorname{Tr}(x_M z_M y_M) \\ &= \operatorname{Tr}(x_M [y, z]_M). \end{align*}

命题 9 09WB

假设 $K$ 是域并且李代数 $g$ 是超过 $K$ 的有限维*。 *令 $a$ 为 $g$ 的理想， $\beta$ 为 $g$ 的杀戮形式，以及 $\beta'$ 为 $a$ 的杀戮形式。那么 $\beta'$ 就是 $\beta$ 到 $a$ 的限制。

被以下引用 1

被以下引用命题 10

令 $u$ 为向量空间 $g$ 的自同态，这使得 $a$ 保持稳定。设 $v$ 为 $u$ 到 $a$ 的限制，以及当经过为商时从 $u$ 导出的向量空间 $g/a$ 的 $w$ 自同态。然后 $\operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} v + \operatorname{Tr} w$ ，如通过取 $g$ 的基 $(x_1, \ldots, x_n)$ 所示，其中第一个 $p$ 元素形式基 $a$ 。然后让 $x \in a, y \in a$ 并将上面的公式应用到 $u = (\operatorname{ad}_g x)(\operatorname{ad}_g y)$ 的情况。然后是 $v = (\operatorname{ad}_a x)(\operatorname{ad}_a y)$ 和 $w = 0$ 。因此 $\beta(x, y) = \beta'(x, y)$ 。

命题 10 09WC

假设 $K$ 是域并且李代数 $g$ 是 $K$ 上的有限维。 $g$ 的杀戮形式 $\beta$ 是完全不变的。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了例 1, I § 1, 命题 9

被以下引用推论 2, I § 5

令 $D$ 为 $g$ 中的推导。存在李代数 $g'$ 包含 $g$ 作为余维 1 的理想和 $g'$ 的元素 $x_0$ ，使得 $Dx = [x_0, x]$ 对于所有 $x \in g$ (§ 1, no. 8，例 1)。令 $\beta'$ 为 $g'$ 的杀戮形式。对于 $g$ 、 $\beta'([x, x_0], y) = \beta'(x, [x_0, y])$ 中的 $x, y$ ，即 $\beta'(Dx, y) + \beta'(x, Dy) = 0$ 。现在 $\beta'$ 到 $g$ 的限制是 $\beta$ （命题9）。因此命题。

7. 卡西米尔元素

命题 11 09WD

设 $g$ 为域 $K$ 之上的李代数， $U$ 其包络代数， $h$ 为 $g$ 和 $\beta$ 不变双线性形式的有限维理想 $g$ ，其限制到 $h$ 是非简并的。令 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}, (e'_j)_{1 \leq j \leq n}$ 为 $h$ 的两个基，使得 $\beta(e_i, e'_j) = \delta_{ij}$ 。那么 $U$ 属于的元素 $c = \sum_{i=1}^n e_i e'_i$ 到 $U$ 的中心并且独立于基 $(e_i)$ 的选择。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了例 3

被以下引用命题 12

对于 $x \in g$ ，令 $x_h$ 为 $\operatorname{ad}_g x$ 的限制到 $h$ 。那么 $x \mapsto x_h$ 是向量空间 $h$ 上 $g$ 的表示，并且 $\beta$ 到 $h$ 的限制 $\beta'$ 在这个表示下是不变的。通过no. 5、*例 3*，张量 $\sum_{i=1}^n e_i \otimes e'_i$ 独立于基 $(e_i)$ 的选择，并且是 $h$ 的张量代数的不变量元素。它也是张量代数 $T$ $g$ 的元素，对于源自 $g$ 的伴随表示的表示是不变的。因此， $U$ 中的典范像，即 $c$ ，独立于基 $(e_i)$ 的选择，并且是no. 2末尾考虑的 $U$ 上 $g$ 的表示的不变量。因此，这个元素可以与 $g$ 的每一个元素进行置换，因此可以对 $U$ 的属于到中心进行置换。

当 $\beta$ 是双线性形式与 $g$ -模块 $M$ 相关联时，命题11的元素 $c$ 被称为与 $M$ （或与相应的）相关联的*卡西米尔元素* 表示）。如果 $\beta$ 到 $h$ 的限制是非简并的，则元素存在。

命题 12 09WE

令 $g$ 为域 $K$ 上的李代数， $h$ 有限维 n 的 $g$ 的理想以及有限维的 M g 模在 K 上。令 c 为与 M 和 h 相关的卡西米尔元素（假定存在）。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了命题 11, 命题 2, A VIII § 4

被以下引用习题 12, § 3, 引理 3, I § 6, 习题 3, § 6

（一） $\operatorname{Tr}(c_M) = n$ 。 (b) 如果M是简单的并且n不能被K的特征整除，则 $c_M$ 是M的自同构。

在命题11的记号中，

\operatorname{Tr}(c_M) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Tr}((e_i)_M(e'_i)_M) = \sum_{i=1}^n \beta(e_i, e'_i) = n.

因此，如果 n 不能被 K 的特征整除，则 $c_M \neq 0$ 。另一方面，由于 U 的 c 属于到中心， $c_M$ 可以与所有 $x_M, x \in g$ 置换。如果进一步 M 是简单的，则 $c_M$ 因此在 $\mathscr{L}(M)$ 中是可逆的 (代数, 章 VIII, § 4, no. 3, 命题 2)。

8. 扩张基环

设 $K_1$ 为交换环，K的单位元和 $\phi$ 同态变为 $K_1$ 映射1比1。设g为谎言K-代数，U为其包络代数，M为左g模，即左U 型模块。那么 $M_{(K_1)}$ 有一个规范的左 $U_{(K_1)}$ 模块结构，因此有一个左 $g_{(K_1)}$ 模块结构。设 $\rho$ 和 $\rho_{(K_1)}$ 为g的表示， $g_{(K_1)}$ 相应的为M和 $M_{(K_1)}$ ： $\rho_{(K_1)}$ 据说是通过*扩展基环*从 $\rho$ 导出的，结果为*代数*、章VIII, § 13, no. 4均可适用。如果 $x \in g$ ， $\rho_{(K_1)}(x)$ 只是自同态 $\rho(x) \otimes 1$ / $M_{(K_1)} = M \otimes_K K_1$ 。

假设 K 是域， $K_1$ 是 K 的扩张， $\phi$ 是 K 的典范嵌入到 $K_1$ 。令V和V'为M的向量子空间。令a为 $x \in g$ 的g由……组成的向量子空间，使得 $\rho(x)(V) \subset V'$ 。令 $a'$ 为 $x' \in g_{(K_1)}$ 的 $g_{(K_1)}$ 由……组成之向量子空间，使得 $\rho_{(K_1)}(x')(V_{(K_1)}) \subset V'_{(K_1)}$ 。然后 $a' = a_{(K_1)}$ 。显然是 $a_{(K_1)} \subset a'$ 。现在让 $x' \in a'$ 。我们可以写成 $x' = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$ ，其中 $x_i$ 在g中， $\lambda_i$ 是 $K_1$ 的元素，与K线性无关。对于所有 $u \in V$ ， $\rho(x') \cdot u \in V'_{(K_1)}$ ，即 $\sum_{i=1}^n \lambda_i \rho(x_i) \cdot u \in V'_{(K_1)}$ ，从而 $\rho(x_i) \cdot u \in V'$ ，因此 $x_i \in a$ 和 $x' \in a_{(K_1)}$ 。这表明 $a' = a_{(K_1)}$ 。特别地， $g_{(K_1)}$ 的*中心*是通过将K扩展到 $K_1$ 而从g的中心导出的：将以上应用于g的伴随表示就足够了。由此可见，对于所有 $p$ ， $\mathscr{C}_p(g_{(K_1)}) = (\mathscr{C}_p g)_{(K_1)}$ 。类似地，令 h 为 g 的子代数，n 为 g 中 h 的*归一化器*。那么 $g_{(K_1)}$ 中 $h_{(K_1)}$ 的归一化器就是 $n_{(K_1)}$ 。

设 K、 $K_1$ 、g、 $\rho$ 、M 如上一段所示。令 b 为 g 的向量子空间，W 向量子空间为 M。令 V 为 $m \in M$ 的 M 由……组成的向量子空间，使得 $\rho(b) \cdot m \subset W$ 。令V'为 $m' \in M_{(K_1)}$ 的 $M_{(K_1)}$ 由……组成中的向量子空间，使得 $\rho_{(K_1)}(b_{(K_1)}) \cdot m' \subset W_{(K_1)}$ 。如上所示， $V' = V_{(K_1)}$ 。特别是， $M_{(K_1)}$ 的*不变量*的向量子空间是通过将基域从 $K$ 延伸到 $K_1$ 而从 $M$ 的不变量向量子空间导出的。

令 $K, K_1$ 和 $\phi$ 与此编号的开头相同。令 $g$ 为李 $K$ -代数，以及 $M$ 和 $N$ $g$ -模。如果 $M$ 和 $N$ 是同构的 $g$ 模块，则 $M_{(K_1)}$ 和 $N_{(K_1)}$ 是同构的 $g_{(K_1)}$ 模块。反之：

命题 13 09WF

令 $K$ 为 $K$ 的域、 $K_1$ 扩张、 $g$ 一个李 $K$ 代数和 $M, N$ $K$ 上有限维的两个 $g$ 模。如果 $M_{(K_1)}$ 和 $N_{(K_1)}$ 是同构 $g_{(K_1)}$ 模块，则 $M$ 和 $N$ 是同构 $g$ 模块。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了定理 1（东屋）, A VIII § 2, I § 2. 。包络代数的李代数, 命题 8, A IV § 2

被以下引用命题 2, VIII § 7

证明分两步。

(1) 首先假设 $K_1$ 是*有限次数* $n$ 的 $K$ 的扩张。令 $U$ 为 $g$ 的包络代数，使得 $g_{(K_1)}$ 的包络代数为 $U_{(K_1)} = U \otimes_K K_1$ (§ 2, no. 9)。由于 $M_{(K_1)}$ 和 $N_{(K_1)}$ 与 $U_{(K_1)}$ 模块同构，因此它们与 $U$ 模块同构 更不必说；但作为 $U$ 模块，它们分别与 $M^n$ 和 $N^n$ 同构的。 Now $M$ and $N$ are $U$ -modules of finite length; $M$ (resp. $N$ ) is therefore the direct sum of a family $(P_i^{r_i})_{1 \leq i \leq p}$ (resp. $(Q_j^{s_j})_{1 \leq j \leq q}$ ) of submodules such that the $P_i$ (resp. $Q_j$ ) are indecomposable and two $P_i$ (resp. $Q_j$ ) of different indices are not isomorphic (Algebra, Chapter VIII, § 2, no. 2, Theorem 1). 那么 $M^n$ （分别 $N^n$ ）同构于 $P_i^{n r_i}$ （分别 $Q_j^{n s_j}$ ）的直和； (loc.cit.) $p = q$ 和之后在必要时置换 $Q_j$ $n r_i = n s_i$ 和 $P_i$ 同构于 $Q_i$ for $1 \leq i \leq p$ ，因此 $M$ 同构于 $N$ 。

(2) 一般情况。设 $P$ 为 $P$ 的不变量的 $g$ 模块 $\mathscr{L}_K(M, N)$ 和 $Q$ 子空间，即 $g$ 模块 $M$ 的同态的集合进入 $g$ -模块 $N$ 。在 $g_{(K_1)}$ -模块 $\mathscr{L}_{K_1}(M_{(K_1)}, N_{(K_1)}) = (\mathscr{L}_K(M, N))_{(K_1)}$ 中，不变量的子空间是 $Q_{(K_1)}$ 。 $M_{(K_1)}$ 和 $N_{(K_1)}$ 同构假设意味着 $M$ 和 $N$ 在 $K$ 上具有相同的维数，并且存在于 $Q_{(K_1)}$ 元素 $g$ ，即 $M_{(K_1)}$ 的同构到 $N_{(K_1)}$ 。令 $(f_1, \ldots, f_d)$ 为 $Q$ 的基超过 $K$ ，并且选择基为 $M$ 和 $N$ 超过 $K$ 。如果 $\lambda_k \in K_1$ 对于 $1 \leq k \leq d$ ， $f = \sum_{k=1}^d \lambda_k f_k$ 的矩阵对于这些基具有行列式，该行列式是多项式 $D(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)$ ，系数 in $K$ 。当 $f = g$ 时，该行列式不为零，因此 $D$ 的系数并非全部非零。因此，如果 $\Omega$ 是 $K$ 的代数闭包，则存在（因为 $\Omega$ 无限）元素 $\mu_k \in \Omega$ $(1 \leq k \leq d)$ ，使得 $D(\mu_1, \ldots, \mu_d) \neq 0$ (代数, 章 IV, § 2, no. 5、命题 8)。如果 $K_2$ 是由 $\mu_k$ $(1 \leq k \leq d)$ 生成 $K$ 的代数扩张，则 $\sum_{k=1}^d \mu_k f_k$ 是 $M_{(K_2)}$ 到 $N_{(K_2)}$ 的同构；但 $K_2$ 是有限次数超过 $K$ （*代数*，章V, § 3, no. 2，命题5），因此 $M$ 和 $N$ 与参数的第一个部分同构。

再次让 $K, K_1$ 和 $\phi$ 作为这个编号的开头。令 $\rho$ 为 $K$ 模块 $M$ 上 $g$ 的表示，且具有有限基 $(x_1, \ldots, x_n)$ 。然后，与 $\rho_{(K_1)}$ 相关联的 $g_{(K_1)}$ 上的双线性形式是从与 $\rho$ 相关联的双线性形式通过将基环扩展到 $K_1$ 导出的（因为，如果 $u \in \mathscr{L}_K(M)$ ， $u$ 具有相同的矩阵） $(x_1, \ldots, x_n)$ 与 $(x_1 \otimes 1, \ldots, x_n \otimes 1)$ 的 $u \otimes 1$ 相同，因此 $u$ 和 $u \otimes 1$ 具有相同的轨迹）。特别是，如果 $K$ -模块 $g$ 具有有限的基，则 $g_{(K_1)}$ 的*杀死形式*是通过将基环延伸到 $K_1$ 而从 $g$ 的杀死形式*导出的。

习题

参见习题为 § 3。

§ 3。 表示

1. Representations

定义 1 09VS

例 09VT

定义 2 09VU

命题 1 09VV

推论 09VW

2. 张量积表示

命题 2 09VX

3. 表示同态模

命题 3 09VY

命题 4 09VZ

4. 例

例 1 09W0

例 2 09W1

5. 不变量元素

定义 3 09W2

例 1 09W3

例 2 09W4

例 3 09W5

命题 5 09W6

命题 6 09W7

6. Invariant bilinear forms

命题 7 09W8

定义 4 09W9

命题 8 09WA

命题 9 09WB

命题 10 09WC

7. 卡西米尔元素

命题 11 09WD

命题 12 09WE

8. 扩张基环

命题 13 09WF

习题

§ 3。表示