习题 19, § 6

设$g$是李代数的约简，$U$是$U$的包络代数、$Z$中心和由元素生成的$U$的$V$子空间形式$uv - vu$（$u \in U, v \in U$）。

(a) $U$是$Z$和$V$的直和。 （$U$、注意到 § 3 至表示 $x \mapsto \mathrm{ad}_U x$ $g$ 应用命题 6，注意到中，§ 2, no. 7 分解 $U = \sum_n U^n$，推论 4 至定理 1、$U^n$在这个表示下是稳定的。）

(b) 令 $u \mapsto u^h$ 为 $U$ 的投影算子到$Z$ 并平行于 $V$。证明 $(uv)^h = (vu)^h, (zu)^h = zu^h$ 对于所有 $u \in U, v \in U, z \in Z$。

(c) 令 R 为 U 的双面理想。证明 $R = (R \cap Z) + (R \cap V)$。 （证明 R 属于到 R 的元素 r V 中的分量，约化到 K 代数闭的情况；观察 R 在 U 的表示 $\varphi$ 下在 U 上扩展 $x \mapsto \mathrm{ad}_U x$ 是稳定的；将 r 分解为其分量在$U^n$；最后，将推论2应用到代数的定理1，章VIII, § 4, no. 2到$\varphi$到$U^n$的限制。）

(d) 令$R'$为Z的理想。令$R_1$为由$R'$生成的U的两侧理想。显示$R_1 \cap Z = R'$。 （使用（b）。）