习题 12, § 3

假设$K$是域。 令$g$为李$K$代数，$M$为$g$模。 让$C^p(g, M)$表示$g^p$的交错的线性映射到$M$的空间。 我们写$C^0(g, M) = M$，对于$p < 0$，写$C^p(g, M) = \{0\}$。 设$C^*(g, M)$为$C^p(g, M)$的直和。 $C^*(g, M)$的元素称为$g$的*协链，$M$*中的值； $C^p(g, M)$ 的那些据说是次数 $p$。 对于所有$y \in g$，我们用$C^*(g, M)$的$i(y)$自同态表示，其中映射每个子空间$C^p(g, M)$进入$C^{p-1}(g, M)$，对于$p > 0$，由公式给出：

我们有$i(y)^2 = 0$。

(a) $g^p$到$M$的多线性映射的空间上$g$的$M$定义表示上$g$的表示和$g$的表示。证明$C^p(g, M)$在此表示下是稳定的。令 $\theta$ 为如此定义的 $C^*(g, M)$ 上的 $g$ 的表示。表明：

对于$g$中的所有$x, y$。

(b) 证明$C^*(g, M)$、映射$C^p(g, M)$到$C^{p+1}(g, M)$中存在且仅有一个自同态$d$，使得

对于所有$y \in g$。 （通过 Cochains 的次数上的归纳进行争论。）证明，对于 $f \in C^p(g, M)$：

（其中字母上的符号 ^ 表示该字母被省略）。

(c) 表明，对于所有 $y \in g$，

（首先使用（2）和（3）证明$d \theta(y) - \theta(y)d$与每个$i(x)$可交换。然后通过归纳对协链的次数进行争论。）

(d) 证明$d^2 = 0$。 （首先使用（3）和（4）证明$d^2$与每个$i(x)$可交换。归纳对协链的次数的争论。）

(e) $d$到$C^p(g, M)$的限制有核$Z^p(g, M)$，其元素被称为次数$p$的*同循环*，其中$M$中的值。 $d$到$C^{p-1}(g, M)$的限制有像$B^p(g, M)$，其元素称为次数$p$与$M$中的值的*共界*。然后$B^p(g, M) \subset Z^p(g, M)$。商空间

$M$中的次数$p$和值称为$g$*上同调空间*。 $H^p(g, M)$中的直和用$H^*(g, M)$表示。证明 $H^0(g, M)$ 与 $M$ 的不变量集合一致。令$\phi$为$g$-模块$M$到$G$-模块$N$的同态。对于所有$f \in C^p(g, M)$，$\phi \circ f \in C^p(g, N)$，这样$\phi$可以扩展到K-线性映射$\phi': C^*(g, M) \to C^*(g, N)$。显示$\phi' \circ d = d \circ \phi'$。推出 $\phi'$ 定义同态

据说与$\phi$有关。

(f) 设$L$为$M$和$N$的子$g$模，商$g$模$M/L$。 典范同态$L \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} N$定义同态

证明 $i'$ 是单射的，并且具有 $p'$ 的像核，并且 $p'$ 是满射的。对于所有$c \in H^n(g, N)$，令$z \in Z^n(g, N)$为$c$的代表，且$a \in C^n(g, M)$为$p'(a) = z$；证明 $da \in Z^{n+1}(g, L)$ 以及 $H^{n+1}(g, L)$ 中的类仅取决于 $c$；用$\delta^n c$表示这个类。显示序列 / 同态：

是正合序列。

(g) 与(f)的记号、正合序列：

定义正合序列

N 的恒等映射是 $\mathscr{L}(N, N)$ 的不变 u，因此 $H^0(g, \mathscr{L}(N, N))$ 的元素；设 c 为 $H^1(g, \mathscr{L}(N, L))$ 中的像。那么对于M中存在对L补充的子g模，$c = 0$是充分必要的。 （这个条件意味着u是$H^0(g, \mathscr{L}(N, M))$的元素的像，即g模N的同态v进入g模M；那么$v(N)$就是想要的补充。）

(h) 表明$Z^1(g, g)$（其中g通过伴随表示被视为g模）用g的推导的向量空间来识别，$B^1(g, g)$用g的内部推导的向量空间来识别。

(i) 设 a 和 b 是两个 Lie K-代数，其中 b 可交换，且 a 与 b 的 $b \xrightarrow{\lambda} g \xrightarrow{\mu} a$ 扩张。对于所有$x \in g$，$\mathrm{ad}_g x$到b的限制仅取决于x模b的类，从而，b上有A-模结构。令 v 为 a 的 K-线性映射到 g 中，使得 $\mu \circ v$ 为 a 的恒等映射。对于a中的$x, y$，我们写为$f(x, y) = [vx, vy] - v([x, y])$。证明$f \in Z^2(a, b)$和$H^2(a, b)$中f的类c不依赖于v的选择。对于b的两个扩张，其中定义与b上的A-模结构相同，要等价，有必要且充分相应的类$c \in H^2(a, b)$相同。为了使扩张不是必需的，$c = 0$是必要且充分的。如果 B 是 A-模和 $c \in H^2(a, B)$，则存在 B 的 a 的扩张（视为可交换的李代数），定义 B 上给定的 A-模结构和 $H^2(a, B)$ 的给定元素 c。

(j) 设 g 是 K 上的有限维李代数，U 是其包络代数，h 是 g 的理想，g 上的 $\beta$ 不变双线性形式，其中限制到 h 是非简并的，$(y_i)_{1 \leq i \leq n}$ 和 $(y'_i)_{1 \leq i \leq n}$ h 的两个基使得

最后让$\Gamma$是$C^*(g, M)$的自同态延伸$t_M$，其中映射将次数 > 0的每个上链f延伸到上链$t_M \circ f$。显示$\rho d + d \rho = \Gamma$。 （如果对于$x \in g$我们写：

首先显示$a_{kl} = -a'_{lk}$。）推出$\Gamma d = d \Gamma$。如果 M 是简单且 K 上的有限维，$\beta$ 是关联的双线性形式，并且昏暗的 h 不能被 K 的特征整除，则证明对于所有 $p$ 都有 $H^p(g, M) = \{0\}$。 （使用命题 12，证明$\Gamma$是$C^*(g, M)$的自同构，因此诱导自同构是$Z^p(g, M)$和$B^p(g, M)$。对于

从而$Z^p(g, M) = B^p(g, M)$。）