Exercice 12, § 3

On suppose que $K$ est un corps. Soient $g$ une K-algèbre de Lie, $M$ un $g$-module. On désigne par $C^p(g, M)$ l’espace des applications multilinéaires alternées de $g^p$ dans $M$. On pose $C^0(g, M) = M$, et, pour $p < 0$, $C^p(g, M) = \{0\}$. Soit $C^*(g, M)$ la somme directe des $C^p(g, M)$. Les éléments de $C^*(g, M)$ sont appelés les cochaînes de $g$ à valeurs dans $M$; celles de $C^p(g, M)$ sont dites de degré $p$. Pour tout $y \in g$, on désigne par $i(y)$ l’endomorphisme de $C^*(g, M)$ qui applique chaque sous-espace $C^p(g, M)$ dans $C^{p-1}(g, M)$ et qui, pour $p > 0$, est donné par la formule :

On a $i(y)^2 = 0$.

a) La représentation adjointe de $g$ et la représentation de $g$ dans $M$ définissent une représentation de $g$ dans l’espace des applications multilinéaires de $g^p$ dans $M$. Montrer que $C^p(g, M)$ est stable pour cette représentation. Soit $\theta$ la représentation de $g$ dans $C^*(g, M)$ ainsi définie. Montrer que :

quels que soient $x, y$ dans $g$.

b) Montrer qu’il existe un endomorphisme $d$ et un seul de $C^*(g, M)$, appliquant $C^p(g, M)$ dans $C^{p+1}(g, M)$, tel que

quel que soit $y \in g$. (Raisonner par récurrence sur le degré des cochaines.) Montrer que, pour $f \in C^p(g, M)$ :

(où le signe $\widehat{}$ sur une lettre signifie qu’elle doit être omise).

c) Montrer que, pour tout $y \in g$,

(Montrer d’abord, en utilisant (2) et (3), que $d\theta(y) - \theta(y)d$ permuté à tout $i(x)$. Puis raisonner par récurrence sur le degré des cochaines.)

d) Montrer que $d^2 = 0$. (Montrer d’abord, en utilisant (3) et (4), que $d^2$ permuté à tout $i(x)$. Puis raisonner par récurrence sur le degré des cochaines.)

e) La restriction de $d$ à $C^p(g, M)$ a un noyau $Z^p(g, M)$ dont les éléments s’appellent cocycles de degré $p$ à valeurs dans $M$. La restriction de $d$ à $C^{p-1}(g, M)$ a une image $B^p(g, M)$, dont les éléments s’appellent cobords de degré $p$ à valeurs dans $M$. On a $B^p(g, M) \subset Z^p(g, M)$. L’espace quotient $Z^p(g, M)/B^p(g, M) = H^p(g, M)$ s’appelle l’espace de cohomologie de degré $p$ de $g$ à valeurs dans $M$. On note $H^*(g, M)$ la somme directe des $H^p(g, M)$. Montrer que $H^0(g, M)$ s’identifie à l’ensemble des invariants de $M$. Soit $\varphi$ un homomorphisme du $g$-module $M$ dans un $g$-module $N$. Pour tout $f \in C^p(g, M)$, $\varphi \circ f \in C^p(g, N)$, de sorte que $\varphi$ se prolonge en une application K-linéaire $\varphi' : C^*(g, M) \to C^*(g, N)$. Montrer que $\varphi' \circ d = d \circ \varphi'$. En déduire que $\varphi'$ définit un homomorphisme $\tilde{\varphi} : H^*(g, M) \to H^*(g, N)$ qui est dit associé à $\varphi$.

f) Soient $L$ un sous-g-module de $M$, et $N$ le g-module quotient $M/L$. Les homomorphismes canoniques $L \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} N$ définissent des homomorphismes

Montrer que $i'$ est injectif et a pour image le noyau de $p'$ et que $p'$ est surjectif. Pour tout $c \in H^n(g, N)$, soit $z \in Z^n(g, N)$ un représentant de $c$, et $a \in C^n(g, M)$ tel que $p'(a) = z$; montrer que $da \in Z^{n+1}(g, L)$ et que sa classe dans $H^{n+1}(g, L)$ ne dépend que de $c$; on note cette classe $\delta^n c$. Montrer que la suite d’homomorphismes :

est une suite exacte.

g) Avec les notations de $f$, la suite exacte :

définit une suite exacte :

L’application identique de $N$ est un invariant $u$ de $\mathscr{L}(N, N)$, donc un élément de $H^0(g, \mathscr{L}(N, N))$; soit $c$ son image dans $H^1(g, \mathscr{L}(N, L))$. Alors, pour qu’il existe dans $M$ un sous-g-module supplémentaire de $L$, il faut et il suffit que $c = 0$. (Cette condition signifie que $u$ est l’image d’un élément de $H^0(g, \mathscr{L}(N, M))$, c’est-à-dire d’un homomorphisme $v$ du g-module $N$ dans le g-module $M$; alors $v(N)$ est le supplémentaire cherché.)

h) Montrer que $Z^1(g, g)$ (où on considère $g$ comme un g-module grâce à la représentation adjointe) s’identifie à l’espace vectoriel des dérivations de $g$, et que $B^1(g, g)$ s’identifie à l’espace vectoriel des dérivations intérieures de $g$.

i) Soient $a$ et $b$ deux K-algèbres de Lie, avec $b$ commutative, et $b \xrightarrow{\lambda} g \xrightarrow{\mu} a$ une extension de $a$ par $b$. Pour tout $x \in g$, la restriction de $\mathrm{ad}_g x$ à $b$ ne dépend que de la classe de $x$ modulo $b$, d’où une structure de $a$-module sur $b$. Soit $v$ une application K-linéaire de $a$ dans $g$ telle que $\mu \circ v$ soit l’application identique de $a$. Pour $x, y$ dans $a$, posons $f(x, y) = [vx, vy] - v([x, y])$. Montrer que $f \in Z^2(a, b)$, et que la classe $c$ de $f$ dans $H^2(a, b)$ ne dépend pas du choix de $v$. Pour que deux extensions de $a$ par $b$, définissant la même structure de $a$-module sur $b$, soient équivalentes, il faut et il suffit que la classe $c \in H^2(a, b)$ correspondante soit la même. Pour que l’extension soit inessentielle, il faut et il suffit que $c = 0$. Si $B$ est un $a$-module, et si $c \in H^2(a, B)$, il existe une extension de $a$ par $B$ (considéré comme algèbre de Lie commutative) définissant la structure donnée de $a$-module sur $B$ et l’élément donné $c$ de $H^2(a, B)$.

j) Soient $g$ une algèbre de Lie de dimension finie sur $K$, $U$ son algèbre enveloppante, $h$ un idéal de $g$, $\beta$ une forme bilinéaire invariante sur $g$ dont la restriction à $h$ est non dégénérée, $(y_i)_{1 \leq i \leq n}$ et $(y'_i)_{1 \leq i \leq n}$ deux bases de $h$ telles que $\beta(y_i, y'_j) = \delta_{ij}$, $t = \sum_{i=1}^n y_i y'_i \in U$, $M$ un g-module, $\rho$ l’endomorphisme de $C^*(g, M)$ qui applique chaque $C^p(g, M)$ dans $C^{p-1}(g, M)$ et qui, pour $p > 0$, est défini par :

Soit enfin $\Gamma$ l’endomorphisme de $C^*(g, M)$ prolongeant $t_M$ qui applique toute cochaîne $f$ de degré $> 0$ sur la cochaîne $t_M \circ f$. Montrer que $\rho d + d\rho = \Gamma$. (Si, pour $x \in g$, on pose :

montrer d’abord que $a_{kl} = -a'_{lk}$. En déduire que $\Gamma d = d\Gamma$. Si $M$ est simple de dimension finie sur $K$, si $\beta$ est la forme bilinéaire associée, et si $\dim \mathfrak{h}$ n’est pas divisible par la caractéristique de $K$, montrer que $H^p(g, M) = \{0\}$ pour tout $p$. (Utilisant la prop. 12, montrer que $\Gamma$ est un automorphisme de $C^*(g, M)$, donc induit des automorphismes de $Z^p(g, M)$ et $B^p(g, M)$. Pour $f \in Z^p(g, M)$, $\Gamma f = (d\rho + \rho d)f = d\rho f \in B^p(g, M)$, d’où $Z^p(g, M) = B^p(g, M)$).