Bài tập 12, § 3

Giả sử rằng $K$ là một trường. Cho $g$ là một đại số Lie $K$ và $M$ là một $g$-môđun. Gọi $C^p(g, M)$ là không gian các ánh xạ tuyến tính phản xứng của $g^p$ vào $M$. Ta viết $C^0(g, M) = M$ và, với $p < 0$, $C^p(g, M) = \{0\}$. Gọi $C^*(g, M)$ là tổng trực tiếp của các $C^p(g, M)$. Các phần tử của $C^*(g, M)$ được gọi là các cochain của $g$ với giá trị trong $M$; các phần tử của $C^p(g, M)$ được nói là có bậc $p$. Với mọi $y \in g$, ta ký hiệu bởi $i(y)$ tự đồng cấu của $C^*(g, M)$ ánh xạ mỗi không gian con $C^p(g, M)$ vào $C^{p-1}(g, M)$ và, với $p > 0$, được cho bởi công thức:

Ta có $i(y)^2 = 0$.

(a) Biểu diễn phụ hợp của $g$ và biểu diễn của $g$ trên $M$ xác định một biểu diễn của $g$ trên không gian các ánh xạ đa tuyến của $g^p$ vào $M$. Chứng minh rằng $C^p(g, M)$ ổn định dưới biểu diễn này. Gọi $\theta$ là biểu diễn của $g$ trên $C^*(g, M)$ được xác định như vậy. Chứng minh rằng:

với mọi $x, y$ trong $g$.

(b) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tự đồng cấu $d$ của $C^*(g, M)$, ánh xạ $C^p(g, M)$ vào $C^{p+1}(g, M)$, sao cho

với mọi $y \in g$. (Lập luận bằng quy nạp theo bậc của các cochain.) Chứng minh rằng, với $f \in C^p(g, M)$:

(trong đó ký hiệu ^ ở trên một chữ cái có nghĩa là chữ cái đó được bỏ đi).

(c) Chứng minh rằng, với mọi $y \in g$,

(Trước hết, sử dụng (2) và (3), chứng minh rằng $d \theta(y) - \theta(y)d$ giao hoán với mọi $i(x)$. Sau đó lập luận bằng quy nạp theo bậc của các cochain.)

(d) Chứng minh rằng $d^2 = 0$. (Trước hết, sử dụng (3) và (4), chứng minh rằng $d^2$ giao hoán với mọi $i(x)$. Sau đó lập luận bằng quy nạp theo bậc của các cochain.)

(e) Hạn chế của $d$ lên $C^p(g, M)$ có hạt nhân $Z^p(g, M)$ mà các phần tử của nó được gọi là đồng chu trình bậc $p$ với giá trị trong $M$. Hạn chế của $d$ lên $C^{p-1}(g, M)$ có ảnh $B^p(g, M)$, mà các phần tử của nó được gọi là đồng biên bậc $p$ với giá trị trong $M$. Khi đó $B^p(g, M) \subset Z^p(g, M)$. Không gian thương

được gọi là không gian đối đồng điều của $g$ bậc $p$ với các giá trị trong $M$. Tổng trực tiếp của các $H^p(g, M)$ được ký hiệu bởi $H^*(g, M)$. Chứng minh rằng $H^0(g, M)$ được đồng nhất với tập hợp các bất biến của $M$. Cho $\phi$ là một đồng cấu của $g$-môđun $M$ vào $G$-môđun $N$. Với mọi $f \in C^p(g, M)$, $\phi \circ f \in C^p(g, N)$, do đó $\phi$ có thể được mở rộng thành một ánh xạ K-tuyến tính $\phi': C^*(g, M) \to C^*(g, N)$. Chứng minh rằng $\phi' \circ d = d \circ \phi'$. Suy ra rằng $\phi'$ định nghĩa một đồng cấu

được gọi là liên kết với $\phi$.

(f) Cho $L$ là một $g$-môđun con của $M$ và $N$ là $g$-môđun thương $M/L$. Các đồng cấu chính tắc $L \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} N$ định nghĩa các đồng cấu

Chứng minh rằng $i'$ là đơn ánh và có ảnh là hạt nhân của $p'$ và rằng $p'$ là toàn ánh. Với mọi $c \in H^n(g, N)$, cho $z \in Z^n(g, N)$ là một đại diện của $c$ và $a \in C^n(g, M)$ sao cho $p'(a) = z$; chứng minh rằng $da \in Z^{n+1}(g, L)$ và lớp của nó trong $H^{n+1}(g, L)$ chỉ phụ thuộc vào $c$; ký hiệu lớp này bởi $\delta^n c$. Chứng minh rằng dãy các đồng cấu:

là một dãy khớp.

(g) Với ký hiệu của (f), dãy khớp:

định nghĩa một dãy khớp

Ánh xạ đồng nhất của N là một phần tử bất biến u của $\mathscr{L}(N, N)$ và do đó là một phần tử của $H^0(g, \mathscr{L}(N, N))$; gọi c là ảnh của nó trong $H^1(g, \mathscr{L}(N, L))$. Khi đó, để tồn tại trong M một môđun con-g là phần bù của L, điều kiện cần và đủ là $c = 0$. (Điều kiện này có nghĩa là u là ảnh của một phần tử của $H^0(g, \mathscr{L}(N, M))$, tức là một đồng cấu v của g-môđun N vào g-môđun M; khi đó $v(N)$ là phần bù cần tìm.)

(h) Chứng minh rằng $Z^1(g, g)$ (trong đó g được xem là một g-môđun nhờ biểu diễn phụ hợp) được đồng nhất với không gian vectơ các đạo hàm của g và rằng $B^1(g, g)$ được đồng nhất với không gian vectơ các đạo hàm nội của g.

(i) Cho a và b là hai đại số Lie trên K với b giao hoán và $b \xrightarrow{\lambda} g \xrightarrow{\mu} a$ là một mở rộng của a bởi b. Với mọi $x \in g$, hạn chế của $\mathrm{ad}_g x$ lên b chỉ phụ thuộc vào lớp của x modulo b, do đó có một cấu trúc a-môđun trên b. Cho v là một ánh xạ K-tuyến tính từ a vào g sao cho $\mu \circ v$ là ánh xạ đồng nhất của a. Với $x, y$ trong a, ta viết $f(x, y) = [vx, vy] - v([x, y])$. Chứng minh rằng $f \in Z^2(a, b)$ và lớp c của f trong $H^2(a, b)$ không phụ thuộc vào lựa chọn v. Để hai mở rộng của a bởi b, xác định cùng một cấu trúc a-môđun trên b, là tương đương, điều kiện cần và đủ là lớp tương ứng $c \in H^2(a, b)$ là như nhau. Để mở rộng là không bản chất, điều kiện cần và đủ là $c = 0$. Nếu B là một a-môđun và $c \in H^2(a, B)$, tồn tại một mở rộng của a bởi B (được xem như một đại số Lie giao hoán) xác định cấu trúc a-môđun đã cho trên B và phần tử c đã cho của $H^2(a, B)$.

(j) Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên K, U là đại số bao phủ của nó, h là một iđêan của g, $\beta$ là một dạng song tuyến tính bất biến trên g mà hạn chế của nó lên h là không suy biến, $(y_i)_{1 \leq i \leq n}$ và $(y'_i)_{1 \leq i \leq n}$ là hai cơ sở của h sao cho

Cuối cùng gọi $\Gamma$ là tự đồng cấu của $C^*(g, M)$ mở rộng $t_M$, biến mỗi đối đồng cấu f có bậc > 0 thành đối đồng cấu $t_M \circ f$. Chứng minh rằng $\rho d + d \rho = \Gamma$. (Nếu với $x \in g$ ta viết:

trước hết chứng minh rằng $a_{kl} = -a'_{lk}$.) Suy ra rằng $\Gamma d = d \Gamma$. Nếu M là đơn và hữu hạn chiều trên K, $\beta$ là dạng song tuyến tính liên kết và dim h không chia hết cho đặc số của K, chứng minh rằng $H^p(g, M) = \{0\}$ với mọi p. (Dùng Mệnh đề 12, chứng minh rằng $\Gamma$ là một tự đẳng cấu của $C^*(g, M)$ và do đó cảm sinh các tự đẳng cấu của $Z^p(g, M)$ và $B^p(g, M)$. Với

do đó $Z^p(g, M) = B^p(g, M)$.)