Bourbaki

习题 3, § 6

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李群与李代数, VIII, 238

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假设g\mathfrak{g}是简单的，用R的α~\widetilde{\alpha}最高根表示。模E(α~)E( \widetilde{\alpha})与g\mathfrak{g}同构的，配备伴随表示。如果C是与g\mathfrak{g}的杀戮形式相关的卡西米尔元素，则E(α~)E( \widetilde{\alpha})中C的像就是身份（cf.第I, §3, no. 7，第12条命题）。通过使用 Cor 进行推断。提案 7 中，

ΦR(α,~α~+2ρ)=1 \Phi_R( \widetilde{\alpha ,}\widetilde{\alpha}+ 2\rho ) = 1

其中ΦR\Phi_R是h∗\mathfrak{h}^*（第VI, §1, no. 12章）上的规范双线性形式。

解答

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