Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 1。 定义共李代数

1. 代数

设 M 是 K 上的酉模，其中 $M \times M$ 的双线性映射 $(x, y) \mapsto xy$ 进入 M。代数的所有公理均满足，除了乘法的结合性之外。通过滥用语言，M 被称为不一定与 K 相关的代数，或有时，当不会产生混淆时，被称为代数在 K 上。我们将使用后者记号。

如果给定K-模 M，则得到乘法$(x, y) \mapsto yx$代数，称为与上述代数相反。

M 的子 K 模 N 在乘法下稳定，在 K 上以明显的方式给出代数的结构。 N 称为 M 的子代数。如果条件 $x \in N, y \in M$ 蕴含 $yx \in N$（或 $xy \in N$），则 N 称为 M 的左（或右）理想。如果 N 既是 M 的左理想又是右理想，N 被称为 M 的双边理想。在这种情况下，M 上的乘法使我们能够在经过上进行定义的商，在商模 $M/N$ 上实现双线性乘法，使得 $M/N$ 有代数结构。 $M/N$ 称为 M 除 N 的商代数。

† 在章中证明的命题仅依赖于书I至VI中建立的性质以及交换代数、章III, § 2的某些结果。

设$M_1$和$M_2$是$M_1$的$K$和$\phi$映射除以$M_2$的两个代数。如果 $\phi$ 是 $K$ 线性的，$\phi$ 被称为 同态，并且 $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$ 是 $x \in M_1, y \in M_1$。 $\phi$的核$N$是$M_1$的双面理想，$\phi$的像是$M_2$的子代数。在经过上对代数$M_1/N$进行$\phi$定义同构商代数$\phi(M_1)$。

令 $M$ 为代数超过 $K$。 $M$的映射$D$进入$M$，如果它是$K$线性，则称为$M$的*推导*，对于所有$x \in M$和$y \in M$，称为$D(xy) = (Dx)y + x(Dy)$。这个定义概括了*代数*、章IV, § 4, no. 3中的定义 3。 $M$推导核是$M$子代数。如果$D_1$和$D_2$是$M$的推导，则$D_1D_2 - D_2D_1$是$M$的推导（cf. 代数，章IV, § 4, no. 3， 命题5：这个命题的证明不使用代数的结合性）。

令$M_1$和$M_2$等于代数除以$K$。在乘积 $K$-模块 $M = M_1 \times M_2$ 上，我们通过编写定义乘法

对于$M_1$中的所有$x_1, y_1$，$M_2$中的$x_2, y_2$。 这样定义的代数称为$M_1$和$M_2$的*乘积代数*。 映射 $x_1 \mapsto (x_1, 0)$（或$x_2 \mapsto (0, x_2)$）是$M_1$（或$M_2$）的同构到$M$的双面理想。 在这些下，同构、$M_1$和$M_2$被视为$M$的双面理想。 那么$K$-模$M$就是$M_1$和$M_2$的直和。 Conversely, let $M$ be an algebra over $K$ and $M_1, M_2$ two two-sided ideals of $M$ such that $M$ is the direct sum of $M_1$ and $M_2$. 然后$M_1M_2 \subset M_1 \cap M_2 = \{0\}$；那么，如果$x_1, y_1$属于到$M_1$并且$x_2, y_2$到$M_2$，那么$(x_1 + x_2)(y_1 + y_2) = x_1y_1 + x_2y_2$，这样$M$就被识别为乘积代数$M_1 \times M_2$。 $M_1$ 的每个左（或右、两侧）理想都是 $M$ 的左（或右、两侧）理想。 我们将在任意有限族代数的情况下制定类似结果的任务留给读者。

令$M$为代数超过$K$，并假设$K$模块$M$承认基$(a_\lambda)_{\lambda \in L}$。 $K$ 存在唯一的系统 $(\gamma_{\lambda \mu \nu})_{(\lambda, \mu, \nu) \in L \times L \times L}$ 元素，使得$a_\lambda a_\mu = \sum_v \gamma_{\lambda \mu v} a_v$ 对于$L$ 中的所有$\lambda, \mu$。 $\gamma_{\lambda \mu \nu}$ 被称为$M$ 的结构相对于基* $(a_\lambda)$ 的*常数。

令$M$为代数超过$K$，$K_0$交换环，其中$K_0$的单位元和$\rho$同态进入$K$映射单位元到单位元。那么$M$可以被认为是代数超过$K_0$，通过将$\alpha \in K_0, x \in M$写成$\alpha.x = \rho(\alpha).x$。特别是当$K_0$是$K$包含单位元中的子环并且$\rho$被视为$K_0$的映射包含在$K$中时。

设$M$为代数超过$K$，$K_1$交换环，其中单位元和$\sigma$同态为$K$到$K_1$映射单位元到单位元。令 $M_{(K_1, \sigma)} = M_{(K_1)}$ 为从 $M$ 派生的 $K_1$ 模块，通过将标量的环扩展到 $K_1$ (代数, 章 II, § 5)。 $M$ 定义上的乘积典型地将 $M_{(K_1)} \times M_{(K_1)}$ 的 $K_1$ 双线性映射转换为 $M_{(K_1)}$ (代数, 章 IX, § 1, no. 4)，使得给出 $M_{(K_1)}$ 代数的结构超过$K_1$（据说是*源自*$M$*通过将标量的环扩展到*$K_1$）。尤其是当$K$是$K_1$包含单位元的子环以及$\sigma$将$K$的映射包含到$K_1$时。

2. 李代数

(1)

(2)

对于所有人 $x, y, z$ 以克为单位。

乘积$[x, y]$称为$x$和$y$的*括号*。恒等式 (2) 称为*雅可比恒等式*。

括号$[x, y]$是$x$和$y$的交错的双线性函数。我们有身份：

(3)

这样雅可比恒等式就可以写成：

(4)

每个子代数以及李代数的每个代数商都是李代数。 李代数的每个乘积都是李代数。如果$g$是李代数，反代数$g^0$是李代数并且$g$的映射$x \mapsto -x$同构到$g^0$，根据恒等式(3)。

3. 可交换李代数

4. 理想

由恒等式(3)得出，在李代数g中，左理想和右理想之间没有区别，每个理想都是双面的。因此，我们只谈论理想。

5. 导出级数，下中央级数

特征理想 $[g, g]$ 称为李代数 g 的*派生理想*，并用 $\mathscr{D}g$ 表示。

g 包含 $\mathscr{D}g$ 的每个子模都是 g 的一个理想。

g 的*导出级数*是g 的特征理想的递减序列$\mathscr{D}^0g, \mathscr{D}^1g, \ldots$，归纳定义如下： (1) $\mathscr{D}^0g = g$； (2) $\mathscr{D}^{p+1}g = [\mathscr{D}^pg, \mathscr{D}^pg]$。

g的*下中心级数*是g的特征理想的递减序列$\mathscr{C}^1g, \mathscr{C}^2g, \ldots$，归纳定义如下： (1) $\mathscr{C}^1g = g$； (2) $\mathscr{C}^{p+1}g = [g, \mathscr{C}^pg]$。然后对于所有$p$，$\mathscr{C}^2g = \mathscr{D}g$和$\mathscr{C}^{p+1}g \supset \mathscr{D}^pg$，正如归纳在$p$上立即看到的那样。

6. 上中环级数

令 g 为 g 的李代数且 P 子集。 g 中 P 的*集中器*是 g 的元素的集合，它们可与 P 的那些可置换。该集中器是 ad $y$ 的核的交，其中 $y$ 穿过 P；因此它是g的子代数。

7. Extensions

其中$g$是$K$上的李代数，$g$的$\mu$满同态到$b$，以及$a$的$\lambda$单同态到$\mu$的核。

$\mu$的核$n$称为扩张的核。 The homomorphism $\lambda$ is an isomorphism of $a$ onto $n$ and the homomorphism $\mu$ defines an isomorphism of $g / n$ onto $b$ when passing to the quotient. By an abuse of language, $g$ is also called an extension of $b$ by $a$.

两个扩张：

are said to be equivalent if there exists a homomorphism $f$ of $g$ into $g'$ such that the following diagram:

是可交换的（即 $f \circ \lambda = \lambda', \mu' \circ f = \mu$）。我们证明这样的同态必然是双射的。首先 $f$ 是单射的。因为如果$x \in g$使得$f(x) = 0$，那么$\mu(x) = \mu'(f(x)) = 0$，因此对于某些$y \in a$来说$x = \lambda(y)$；然后$\lambda'(y) = f(\lambda(y)) = f(x) = 0$，因此$y = 0$，因此$x = 0$。另一方面，$f$是满射的。因为 $\mu' \circ f = \mu$ 是满射，因此 $f(g) + \lambda'(a) = g'$；另一方面$f(g) \supset f(\lambda(a)) = \lambda'(a)$。

由此可见，刚刚在$b$的两个扩张与$a$之间定义的关系是等价关系。

a 等于 b 的扩张，n 等于核。如果存在 g 的子代数（或理想）补充 g 中的 n，则此扩张称为无关紧要（或琐碎）。如果 n 包含在 g 的中心中，则该扩张称为中心。

如果扩张是平凡的，则令 m 为 g 中 n 的补充的理想。那么 (cf. no. 1) g 被规范地等同于李代数 m × n，因此也等同于李代数 a × b。反之，设a和b为两个李代数；那么 a × b 是 a 乘 b 的平凡扩张。

一个无关紧要的中心扩张是微不足道的。令g为李代数，n是g的中心中包含的g的理想，g的m子代数补充g中的n。则 [m, g] = [m, m] + [m, n] = [m, m] ⊂ m，因此 m 是 g 的理想。

8. 半直接乘积

设a和b是K上的两个李代数。用a来构造所有b的扩张并不容易。但我们将非常简单地用 a 来描述 b 的所有*非必要* 扩张。

设 g 是 b 与 a 的非必要扩张。我们认同 a 的理想为 g，b 为子代数 g 的补充，模 g 为模 a × b。对于所有$b \in b$，令$\phi_b$为限制到$\mathrm{ad}_g\ b$的a；这是a的推导和映射$b \mapsto \phi_b$是b的同态到a的推导的李代数。另一方面，对于 a 中的 $a, a'$ 和 b 中的 $b, b'$，我们有：

相反，设a和b在K上是李代数，并且b的$b \mapsto \phi_b$同态变成a的推导的李代数。在 K-模* a 和 b 的乘积 *g 上，我们通过写来定义两个元素的括号：

对于$a$中的所有$a, a'$，$b$中的$b, b'$。 It is immediate that this bracket is an alternating bilinear function of $(a, b), (a', b')$; we show that, given 3 elements $(a, b), (a', b'), (a'', b'')$ of $a \times b$:

(7)

由于(7)的左边是$(a, b), (a', b'), (a'', b'')$的交错的三线性函数，因此当元素的系统取以下形式之一时即可进行验证：

(8) $(a, 0), (a', 0), (a'', 0)$

(9) $(a, 0), (a', 0), (0, b'')$

(10) $(a, 0), (0, b'), (0, b'')$

(11)$(0, b), (0, b'), (0, b'')$。

在情况(8)和(11)中，关系(7)是$a$和$b$中雅可比恒等式的直接的推论。对于情况（9），我们有

关系 (7) 由等式得出：

对于情况（10），我们有：

关系 (7) 由等式得出：

因此李代数结构已定义在$g$上。 $g$的映射$(a, b) \mapsto b$到$b$是同态$\mu$，其中核$n$是形式$(a, 0)$的$g$元素的理想。 映射 $a \mapsto (a, 0)$ 是$a$ 的同构 $\lambda$ 到$n$。因此：

(12)

是$b$的扩张乘以核$n$的$a$，据说这是由$a, b, \phi$*规范定义的。 映射$b \mapsto (0, b)$是$b$的同构$\nu$到$g$的子代数，对$g$中$n$的补充；因此扩张是无关紧要的。

如果$a$在$\lambda$下与$n$识别，并且$b$在$v$下与$v(b)$识别，则对于$a \in a$和$b \in b$：

当$\phi = 0$时，$g$是$b$和$a$中的乘积李代数。一般情况下，$g$被$a$*称为$b$的*半直接乘积（$b$的相应的到同态$b \mapsto \phi_b$到推导的李代数） $a$）。

因此，我们建立了以下命题：

9. 变换基环

令$K_0$为交换环，其中单位元和$K_0$的$\rho$同态转化为K映射单位元至单位元。令$g$为K上的李代数。令$g'$为通过$\rho$（cf.no. 1）将$g$视为$K_0$上的代数而获得的代数。那么$g'$就是李代数。 $g$的子代数（分别是理想）是$g'$的子代数（分别是理想）。如果$a$和$b$是$g$的子模，则$[a, b]$在$g$和$g'$中是相同的； $[a, b]$ 是形式元素集合