(i) $\lambda -w(\lambda )\geq 0$（或$>0$）对于所有$w\in W$，使得$w\not= 1$；

(ii) 对于所有$w\in W$，使得$w\not= 1,\lambda -w(\lambda )$是线性组合，且具有简单根的正系数（分别是正系数，并非全部零）；

(iii) 对于每个正根 $\alpha$，$\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \geq 0$（或$>0$）；

(iv) 对于每个简单的根 $\alpha$，$\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \geq 0$（或 $>0$）。

等价如果 (iii) 和 (iv) 是直接的。由于$K_{\alpha}$的集合可以与$R(G,T) ($§4, no. 5的逆根系等同），因此（i）和（iii）的等价可从第1章得出。 VI, §1, no. 6，第 18 号提案和 Cor.蕴涵 (ii) $\Rightarrow$ (i) 是微不足道的，相反的蕴涵由 loc 得出。引用。

用X(T)的元素的$X_{++}$集合表示，使得$\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \geq 0$对于每个正根$\alpha$。据说$X_{++}$中的元素占主导地位。它们形式是X(T)上W的运算的基本域（第VI, §1, no. 10章）。我们有$X_{++}\subset X_+$。

如果 G 是单连通的，对于每个简单根 $\alpha$，存在 X(T) 的元素 $\varpi_{\alpha}$，使得对于每个简单根 $\beta$ $\langle \varpi_{\beta}, K_{\alpha}\rangle =\delta_{\alpha \beta}$，即 $s_{\alpha}(\varpi_{\alpha}) =$ $\varpi_{\alpha}-\alpha ,s_{\beta}(\varpi_{\alpha}) =\varpi_{\alpha}$ 对于每个简单的根 $\beta \not=\alpha$； $\varpi_{\alpha}$ 称为基本主权；它们是交换性群 X(T) 和交换幺半群 $X_{++}$ 的形式基；更准确地说，X(T)的每个元素$\lambda$都可以写成形式$\lambda =\sum_{\alpha}\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \varpi_{\alpha}$。

用 $X(T)\otimes \mathbf{Q}$ 的 $\rho$ 元素表示，使得

对于每个简单的根 $\alpha$，我们都有$\langle \rho , K_{\alpha}\rangle = 1$（第 VI, §1, no. 10 章，第 29 条命题）。如果 G 是单连通的，$\rho$ 是基本显性权的和。

如果存在 G 的表示 $\tau$ 使得 $L(\tau )_{(\mathbf{C})}=\varphi$，则 $\varphi$ 为半单，因为 G 是连通的并且 $\tau$ 为半单（第 13 条命题第 III, §6, no. 5 的 Cor.2），以及权 $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ on V 属于 to 像 of $\delta$.因此，条件是必要的；我们将证明它是足够的。 If $\varphi$ is 半单, V is 直和 of the $V_\mu(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$, where $\mu$ 属于 to 集合 of 权 of $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ on V (Chap. VII, §2, no. 4，第 2 条第 3 条）；如果$\delta$的所有权属于到像，则在V上存在T的表示$\tau_T$，使得$L(\tau_T)_{(\mathbf{C})}=\varphi |\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}:$确实，只需将$\tau_T(t)v=t^{\lambda}v$放入$t\in T$并且$v\in V_{\delta(\lambda)}(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$。 引理现在遵循§2, no. 6 的第 8 条提案。

b) Two 不可约表示 of G are equivalent if and only if their 最高权 are equal.

c) For every dominant 元素 $\lambda$ of X(T), there exists 不可约表示 of G of 最高权 $\lambda$.

由引理2，G对应不可约表示等价类双射到$\mathfrak{g}$的有限维不可约表示类，其权属于到$\delta (X(T))$。

用 $\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 中心表示，并用 $\mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 表示 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 的导出李代数，从而得到 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}=\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}\oplus \mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$。 For every 双线性形式 $\mu$ on $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}\cap \mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$, denote by $E(\mu)$ the simple $\mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$-module introduced in Chap. VIII, §6, no. 3；对于$\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$上的每个线性形式$\nu$，用$\mathbf{C}(\nu )$表示与其关联的$\mathbf{C}$上的一维$\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$模。然后 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$-模块 $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ 很简单，并且由第 1 章介绍。 VIII, §7, no. 2，科。 2 Th。 1 和代数，第 1 章。 VIII, §11, no. 1，周四。 1、每个有限维简单$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$模都同构于模$\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$之一；此外（前述）$\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ 是有限维的当且仅当对于每个简单的根 $\alpha$ $\mu(H_{\alpha})$ 是正整数。如果我们用$\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$上的$\nu +\mu$线性形式表示$\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$上的诱导$\nu$和$\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}\cap \mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$上的$\mu$，则$(\nu +\mu)(H_{\alpha}) =\mu(H_{\alpha})$；此外，$\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$的权是$\nu +\lambda$，其中$\lambda$是$E(\mu)$的任何权，因此是形式$\nu +\mu-\theta$，其中$\theta \in \delta (X_+)$（第VIII, §6, no. 2章， 引理2)。

我们结论认为$\mathfrak{g}$模$\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$是有限维的当且仅当对于每个简单的根$\alpha$，$(\nu +\mu)(H_{\alpha})$是正整数，并且它的权属于到$\delta (X(T))$当且仅当$\nu +\mu$属于至$\delta (X(T))$。这两个条件中的合取表示$\nu +\mu$属于到$\delta (X_{++})$；在这种情况下，$\nu +\mu$ 是 $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ 的最高权。因此，我们为最高权$\lambda$的G的X(T)不可约表示的每个主导权$\lambda$构建，并因此获得了直到等价的G的所有不可约表示。从向量开始维数 1、证明中的$\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ 形式子空间权 $\nu +\mu$ 已完成。

首先观察X(T)的每个元素等于两个显性权之差：更准确地说，让$\varpi$是$X_{++}$的元素，这样对于每个简单的根$\alpha$，$\langle \varpi , K_{\alpha}\rangle >0$；对于所有$\lambda \in X(T)$，存在正整数$n$，这样对于每个简单的根$\alpha$，都存在$\langle \lambda +n\varpi , K_{\alpha}\rangle \geq 0$，即(no. 1，引理$1$)$\lambda +n\varpi \in X_{++}$。

因而，存在$X_{++}$生成的$\mathbf{Z}$模X(T)的元素的有限族$(\lambda_i)_{i\in I}$。对于$i\in I$，令$\tau_i$为最高权$\lambda_i$G不可约表示(Th.1)；设表示$\tau$为$\tau_i$的直和。由$\tau$(相对于T)生成$\mathbf{Z}$-模X(T)权构造集合$P(\tau ,T)$。现在从 §4, no. 3 的第 6 条命题可以得出，同态 $\tau$ 是单射的，因此是推论。

是 Weyl 群的元素，使得 $w_0(R_+) = R_-$（第 VI, § 6 章，第 17 号提案第 3 条）。有三种可能的情况：

a$)w_0(\lambda ) =-\lambda$ 和 $m$ 是偶数。则V上存在分离对称双线性形式的G不变量； 表示$\tau$是真正的型（附录II）。

b$)w_0(\lambda )\not=-\lambda$。 V 上的每个 G 不变双线性形式都是零； 表示 $\tau$ 是复数型（前述）。

c$)w_0(\lambda ) =-\lambda$ 和 $m$ 是奇数。那么在 V 上存在分离交错的双线性形式的 G 不变量； 表示 $\tau$ 属于四元数型（前述）。

如果$\tau$到$C(G)_0$的限制不是微不足道的，我们就处于情况b)。

V 上的双线性形式 B 在 G 下是不变的当且仅当它在 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 下不变（第 III, §6, no. 5 章，Cor. 3）。因此，如果 G 是半单，则命题由第 1 章得出。 VIII, §7, no. 5，附录II第12号提案和第3号提案。

一般情况下，放入$C(G)_0= S$，认同$X(T/S)$，子群为X(T)（W下稳定）。如果 $\tau (S) =\{1_V\},\tau$ 诱导代入最高权 $\lambda$ 的商表示 $\tau ': G/S\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$；在这种情况下，命题源自前面的内容，应用于$G/S$。

假设$\tau (S)\not=\{1_V\}$。存在X(S) 的非零元素 $\nu$，使得$\tau (s) =\nu (s)_V$ 对于所有$s\in S$ (注 3)。那么$\nu$就是限制同态$X(T)\rightarrow X(S)$下$\lambda$的像；由于 W 对 X(S) 的运算很简单，等式 $w_0(\lambda ) =-\lambda$ 意味着 $\nu =-\nu$，这是不可能的：因此是 $w_0(\lambda )\not=-\lambda$。另一方面，如果 B 是 V 上的 G 不变双线性形式，对于 V 中的所有 $x, y$ 和 S 中的 $s$，我们有，

这意味着 B = 0，因此命题。

设$\mathfrak{S}_{\mathbf{R}}(G)$为有限维实数向量空间上G的不可约连续表示类集合。命题1和附录II的结果给出双射$\Phi : X_{++}/\Sigma \rightarrow \mathfrak{S}_{\mathbf{R}}$(G)，其中$\Sigma$表示Aut(X(T))的子群$\{1,-w_0\}$。更准确地说，令$\lambda \in X_{++}$，并且令$E_{\lambda}$为最高权$\lambda$G的表示；然后

$\Phi (\{\lambda ,-w_0(\lambda )\}) = E_{\lambda[\mathbf{R}]}$ 如果$\lambda \not=-w_0(\lambda )$ 或如果$\sum_{\alpha\in R_+}\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \notin2\mathbf{Z}$

$\Phi (\{\lambda ,-w_0(\lambda )\}) = E'_{\lambda}$如果$\lambda =-w_0(\lambda )$和$\sum_{\alpha\in R_+}\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \in 2\mathbf{Z}$

其中$E'_{\lambda}$是G下$E_{\lambda}$不变量的$\mathbf{R}$结构。

对于$\lambda \in X_{++}$，用最高权$\lambda$的不可约表示的R(G)中的$[\lambda ]$类表示。由于族$([\lambda ])_{\lambda\in X_{++}}$是$\mathbf{Z}$模R(G)的基，因此只需证明以下断言：

系列 (Ch[$\lambda ]$)$_{\lambda\in X_{++}}$ 是 $\mathbf{Z}$ 模块 $\mathbf{Z}[X(T)]^W$ 的基。

对于$\mathbf{Z}[X(T)]$的每个元素$u=\sum_{\lambda}a_{\lambda}e^{\lambda}$，如果$\lambda$是$\mu\in X(T)$的集合的极大元素，则$u$中的项$a_{\lambda}e^{\lambda}$被称为最大，使得$a_\mu\not= 0$。 Th。 1 意味着 Ch[$\lambda ]$ 具有唯一的最大值项，即 $e^{\lambda}$。因此，命题源自以下引理。

证明与第 1 章的命题 3 相同。 VI, §3, no. 4、替换 A 乘以 $\mathbf{Z}, P$ 乘以 X(T) 以及 $P\cap \overline{C}$ 乘以 $X_{++}$。

令$\Theta (G)$（或$\Theta (T)$）为G（或T）上连续代表函数的$\mathbf{C}$-代数，令$Z\Theta (G)$（或$\Theta (T)^W$）为中心的子代数由……组成（或W-不变式） 函数。 限制映射$\Theta (G)\rightarrow \Theta (T)$诱导同态共环$r: Z\Theta (G)\rightarrow \Theta (T)^W$。另一方面，与表示$\tau$关联的映射其特征标（即函数$g \rightarrow$Tr$\tau (g)$）$\mathbf{C}$-代数的扩展到同态 Tr$:\mathbf{C}\otimes_{\mathbf{Z}}R(G)\rightarrow Z\Theta (G)$，根据光谱理论，是同构。类似地，$\mathbf{C}$-代数$\iota :\mathbf{C}[X(T)]\rightarrow \Theta$(T)的典范嵌入$X(T)\rightarrow \Theta (T)$诱导同构，其中诱导同构$\iota :\mathbf{C}[X(T)]^W\rightarrow \Theta (T)^W$。 图表

是可交换的：事实上，对于每个表示 $\tau : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ 和所有 $t\in T$，

Tr $\tau (t) =\sum_{\lambda\in X(T)}$(暗淡$V_{\lambda}(T)$)$\lambda (t) =\iota$(Ch$\tau$)$(t)$,

即$(r\circ$ Tr)[$\tau ] = (\iota \circ$ Ch)[$\tau ]$。

我们现在可以从命题推出以下结果。

证明与第 1 章相同。 VI, §3, no. 3，命题 1。

由章。 VI，位置。前述，提案 2，

所以

由科. 2 Th。 1 (§6, no. 2)，我们推出：

对于所有$\lambda \in X_{++}$，用最高权$\lambda$G不可约表示$\chi_{\lambda}$特征标表示。

函数 $J(\rho ).\chi_{\lambda}|T$ 在 W 下是反对不变的，并且是线性组合，整数 X(T) 的元素系数。因此，由章。 VI, §3, no. 3，第 1 条，它可以写成 $\sum_\mu a_\mu J(\mu\rho )$，其中 $\mu$ 属于到 $X_{++}$，$a_\mu$ 是整数，几乎都是有限的，其中许多是零；从$\int_G|\chi_{\lambda}(g)|^2dg= 1$开始

(Spectral Theories), it follows from Prop. 3 and Lemma 4 that $\sum_\mu(a_\mu)^2= 1$; thus, the $a_\mu$ are all zero, except one which must be equal to 1 or $-1$. 但$\chi_{\alpha}|T$中$\lambda$的系数等于1（Th.1），因此$J(\rho ).\chi_{\lambda}|T$中$\lambda \rho$的系数等于1（VI, §3, no. 3，注2），这意味着$a_{\lambda \rho}= 1$，因此定理。

$(\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\rho})$ Ch[$\lambda ] =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\lambda}e^{w\rho}$ 对于所有 $\lambda \in X_{++}$。

这是从定理和交换律图表 (2) (no. 3) 得出的。

其中两个和超过W的元素$w$。

事实上，$J(\rho )(t)$ 是非零的，因为$t$ 是正则的 (公式 (4))。

如果$\varphi$是G上的中心函数，则$\varphi$到T的限制在W下是不变的，所以$J(\rho ).\varphi |T$在W下是反不变的。 Further, by Spectral Theories and Th. 1, the family $(\chi_{\lambda})_{\lambda\in X_{++}}$ is an algebraic basis of the space of central representative functions on G and an orthonormal basis of the space ZL$^2(G)$ of classes of square-integrable central functions on G.

因此，根据 Prop. 3 和 Th. 2 我们推论：

事实上，到引理 4 和 Th。 2、

但函数 $t \rightarrow \varphi (t)J(\rho )(t)$ 是反不变式，$\frac{1}{w(G)}J(\lambda \rho )$ 是 $\lambda \rho$ 的正交投影到 $L^2$(T) 的反不变式元素的子空间，所以

最后，通过公式 (3)，我们得到 $\rho (t)J(\rho )(t) =\prod_{\alpha >0}(1-\alpha (t)^{-1})$，因此得出推论。

对于每个简单的根 $\alpha$，放入 $\gamma =\frac{1}{2}\sum_{\alpha >0}K_{\alpha}$，因此$\delta (\alpha )(\gamma ) = 2\pi i$（第 VI, §1, no. 10 章，第 29 条命题）。行$\mathbf{R}\gamma$不包含在超平面 Ker $\delta (\alpha )$中，因此对于所有足够小的$z\in \mathbf{R}^*$，exp($z\gamma$)是G的正则元素；对于所有$\mu\in X(T)$和所有$z\in \mathbf{R}$，我们有

$J(\mu$)(exp($z\gamma$))$=\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{z\delta(\mu)(w^{-1}\gamma)}$。

让我们暂时接受以下引理：

$J(\mu$)(exp($z\gamma$))$=e^{z\delta(\mu)(\gamma)}\prod_{\alpha >0}(1-e^{-z\delta(\mu)(K_{\alpha})})$。

因此，函数 $J(\mu$)(exp($z\gamma$ )) 是函数的乘积，当 $z$ 趋于 0 时趋于 1，并且

其中 N = 卡 $R_+$。

首先假设$\rho \in X(T)$； 应用科。 2 Th。 2 我们看到，随着 $z$ 趋于 $0,\chi_{\lambda}(z\gamma )$ 趋于

因此在这种情况下是定理。

一般情况下，在证明 Th 中，注就足够了。 3，我们总是可以通过合适的连接覆盖来替换G，从而约化到前面的情况。

现在我们证明引理 5。 设 $z\in \mathbf{C}$；用$\varphi_z$映射从$\mathfrak{t}$到$\mathbf{C}$-代数映射(X(T)$,\mathbf{C}$)的映射从X(T)到$\mathbf{C}$关联到$H\in \mathfrak{t}$ 映射

$\varphi_z(H) :\mu \rightarrow \mu$(exp $zH$) $=e^{z\delta(\mu)(H)}$。

我们有 $\varphi_z(H+H') =\varphi_z(H)\varphi_z(H')$，所以存在同态或环

$\psi_z:\mathbf{Z}[\mathfrak{t}]\rightarrow$ 映射(X(T)$,\mathbf{C}$)

这样$\psi_z(e^H)(\mu) =e^{z\delta(\mu)(H)}$。另一方面，由章。 VI, §3, no. 3，命题2，我们在$\mathbf{Z}[\mathfrak{t}]:$中有以下关系

应用同态 $\psi_z$，并使用等式

我们推导出所述的公式。

a）sup$_{\lambda\in X_{++}}d(\lambda )/\|\lambda +\rho \|^N<\infty$，其中$N = 1/$2（暗淡$G-$暗淡T）。

b) 如果 G 为半单，则 inf$_{\lambda\in X_{++}}d(\lambda )/\|\lambda +\rho \|>0$。

a) 对于所有$\alpha \in R_+$，存在$A_{\alpha}>0$和$|\langle \lambda +\rho , K_{\alpha}\rangle | \leq A_{\alpha}\|\lambda +\rho \|$，因此存在$d(\lambda )/\|\lambda +\rho \|^N\leq \prod_{\alpha >0}A_{\alpha}/\langle \rho , K_{\alpha}\rangle$。

b) 假设G是半单，用$\beta_1, . . . , \beta_r$表示简单的根并放入$N_i=K_{\beta_i}$。然后

从$\langle \lambda +\rho , N_i\rangle \geq \langle \rho , N_i\rangle = 1$开始，这意味着

$d(\lambda )\geq$支持$_i|\langle \lambda +\rho , N_i\rangle |$。

如果 G 是半单，$x \rightarrow$sup$|\langle x, N_i\rangle |$ 是$X(T)\otimes \mathbf{R}$ 上的范数，必然等价于给定的范数，因此 b)。