$=d(u)\int_Gf(g$）Tr（$u(gh^{-1})$）$dg=d(u)\int_Gf(gh$）Tr（$u(g)$）$dg$。 (10)

对于所有$u\in \widehat{G}$选择，$E_u$的正交基$Bu$，并在该基中用$u(g)$的$(u_{ij}(g))$矩阵表示。命题 1 还意味着函数 $\surd\overline{d(u)}u_{ij}$ 的族，对于 $\widehat{G}$ 中的 $u$ 和 $B_u$ 中的 $i, j$，是空间 $L^2(G)$ 的正交基。

如果$f$在G上是可积函数，使得族$(f_u)$一致可求，则该族的和是连续的函数，其中重合几乎处处有$f$；在其他字中，如果我们假设在加法中$f$是连续的，那么对于所有$h\in G$，$f(h) =\sum_{u\in\widehat{G}}d(u)\int_Gf(gh$)Tr($u(g)$)$dg$。 (11)

相反地，让 $A\in F( \widehat{G})$；如果族 $(\mathscr{F}_uA)_{u\in\widehat{G}}$ 一致可求，则函数

$g \rightarrow \sum_{u\in\widehat{G}}(\mathscr{F}_uA)(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}d(u$)Tr(A$_uu(g)^{-1}$)

是 G 上的连续函数，其傅立叶协变换为 A。

设$f$为G上的可积函数，并设$s\in G$。在$\gamma (s)f=\varepsilon_s*f,\delta (s)f=f*\varepsilon_{s^{-1}}$定义的G上用$\gamma (s)f$和$\delta (s)f$函数表示，即

$(\gamma (s)f)(g) =f(s^{-1}g),(\delta (s)f)(g) =f(gs)$ 为 $g\in G$，

（第 III, §3, no. 4 章和集成，第 VII, §1, no. 1 章）。我们有

所以

和类似地

当 G 是可交换的时，对于所有 $u\in \widehat{G}$，$\widehat{G}$ 是 G 的对偶群的基础集合（光谱理论，第 II, §1，第 $1$）$,d(u) = 1$，并且我们恢复傅里叶变换的定义在光谱理论，第一章。 II。

a) 以下条件是等价的：

(i) 存在整数$n >0$使得$\varphi (u)\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^n$（分别对于每个整数$n >0$，我们有$\varphi (u)\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^{-n}$）。

(ii) 存在整数$n >0$使得$\varphi (u)\preccurlyeq ( \widetilde{\Gamma}(u) + 1)^n$（分别对于每个整数$n >0$，我们有$\varphi (u)\preccurlyeq ( \widetilde{\Gamma}(u) + 1)^{-n}$）。

b) 如果 G 为半单，条件 (i) 和 (ii) 也等价于：

(iii) 存在整数$n >0$使得$\varphi (u)\preccurlyeq d(u)^n$（分别对于每个整数$n >0$，我们有$\varphi (u)\preccurlyeq d(u)^{-n}$）。

注首先条件 (i) 显然独立于范数的选择。因此，我们可以使用由与$\Gamma ($§7, no. 6相关的二次形式$Q_{\Gamma}$定义的范数，命题4）。然后

所以 $\widetilde{\Gamma}(u) + 1\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^2\preccurlyeq \widetilde{\Gamma}(u) + 1$，因此 a)。

进一步，如果G是半单，

$\|\lambda (u) +\rho \|\preccurlyeq d(u)\preccurlyeq \|\lambda (u) +\rho \|^N$，其中$N = 1/$2（暗淡$G-$暗淡T）

（§7, no. 5，Th.3 的 Cor.1），因此 $\|\lambda (u)\|+ 1\preccurlyeq d(u)\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^N$，因此 b)。

根据命题 2，条件 (i) 独立于最大环面、腔室和范数的选择，并且条件 (ii) 独立于卡西米尔元素的选择。 函数 $\varphi$ 满足条件 (i) 和 (ii) 据说是中等递增（或快速递减）。 乘积两个适度递增函数适度递增；中等递增函数和快速递减函数的乘积是快速递减。如果 $\varphi$ 快速递减，则族 $(\varphi (u))_{u\in\widehat{G}}$ 是可求和的。

由于两个中等递增函数中的乘积是中等递增，因此当$t\in \mathfrak{g}:$在这种情况下断言从§7, no. 6和不等式中的注推出时，就足以证明这一点

$f(h) =\sum_{u\in\widehat{G}}\langle u(h)|u(f)\rangle =\sum_{u\in\widehat{G}}d(u)\int_Gf(g$）Tr（$u(gh^{-1})$）$dg$。

b) 令G上的$f$为可积函数；那么 $f$ 几乎处处都等于无限可微的函数当且仅当函数 $u \rightarrow \|u(f)\|_{\infty}$ 在 $\widehat{G}$ 上快速递减。

令$f$为G上的无限可微函数，并令$\Gamma$为G的卡西米尔元素；通过公式 (14),

对于所有$n\geq 0$，因而

$\widetilde{\Gamma}(u)^n\|u(f)\|_{\infty}\leq \|(L_{\Gamma})^nf\|_1\leq$支持$_{g\in G}|((L_{\Gamma})^nf)(g)|$； (15)

因而，函数$u \rightarrow \|u(f)\|_{\infty}$确实很快递减。

相反，令$A = (A_u)_{u\in\widehat{G}}$为$F( \widehat{G})$的元素，使得函数$u \rightarrow \|A_u\|_{\infty}$迅速变为递减。把$f_u(g) =\langle u(g)|A_u\rangle$； 函数 $g \rightarrow f_u(g)$ 是解析的，因此是无限可微的。由章。 III, §3, no. 7，提案 27，

对于所有$x\in \mathfrak{g}$。让$t\in U(G)$；由前面的公式，

因而

由于 $d(u)$ 和 $\|u(t)\|_{\infty}$ 是适度的递增（命题 3），而 $\|A_u\|_{\infty}$ 是快速的递减，函数 $u \rightarrow$ $_g|(L_tf_u)(g)|$ 是快速的递减；因而，族$(L_tf_u)_{u\in\widehat{G}}$是一致可求的。由此可见，$^7$族$(f_u)$的和是G上的无限可微的函数，其傅里叶协变换为$(A_u)$，因此定理。

用$A = (A_u)_{u\in\widehat{G}}$家庭的$L^2( \widehat{G})$由……组成的$\mathscr{S}( \widehat{G})$向量子空间表示，使得函数$u \rightarrow \|A_u\|_{\infty}$在$\widehat{G}$上快速递减。从定理可以得出复合体向量空间 $\mathscr{C}^{\infty}(G;\mathbf{C})$ 和 $\mathscr{S}( \widehat{G})$ 之间的映射 $\mathscr{F}:f \rightarrow (u(f))_{u\in\widehat{G}}$ 和 $\mathscr{F}: A \rightarrow \sum_{u\in\widehat{G}}\langle u(g)|A_u\rangle$ 诱导逆同构。给出均匀 $C^{\infty}$ 收敛性 (§6, no. 4) 的空间 $\mathscr{C}^{\infty}(G;\mathbf{C})$ 拓扑，可以由$t\in U(G)$的半范数族$f \rightarrow$sup$_{g\in G}|L_tf(g)|$和空间$\mathscr{S}( \widehat{G})$定义拓扑由半范数$p_n: A \rightarrow$sup$_{u\in\widehat{G}}( \widetilde{\Gamma}(u) + 1)^n\|A_u\|_{\infty}$的序列定义。前面的证明的公式(15)表明$\overline{\mathscr{F}}$是连续的。设$t\in U(G)$，并令$A = (A_u)_{u\in\widehat{G}}$为$\mathscr{S}( \widehat{G})$的元素；输入$f_n(g) =\langle u(g)|A_u\rangle$。令$p$为整数，使得$\sum_{u\in\widehat{G}}\widetilde{\Gamma}(u)^{-p}= M<\infty$。根据前面的证明，存在正整数$m$，使得对于所有$g\in G$，

所以$|(L_t\mathscr{F}(A))(g)| \leq mMp_m(A)$；这证明$\mathscr{F}$是连续的。因而：

$^7$ 这是根据空间 $\mathscr{C}^{\infty}(G;\mathbf{C})$ 的事实得出的，其中拓扑是均匀的

$C^{\infty}$-收敛(§6, no. 4)，完备的。

根据命题1（no. 1），说$f$是中心意味着$u(\gamma (s)f) =$$u(\delta (s^{-1})f)$对于所有$s\in G$和所有$u\in \widehat{G}$；但对于所有$s\in G$和所有$u\in \widehat{G}$（公式（12）和（13）），这也可以写成$u(s)u(f) =u(f)u(s)$，因此是第4条命题的第一个断言（Schur的引理）。如果 $u(f)$ 是位似，则 $u(f) =\lambda_u\varepsilon_u$ 与

$\lambda_u=\frac{1}{d(u)}$Tr($u(f)$)$=\frac{1}{d(u)}\int_Gf(g$)Tr($u(g)$)$dg=\frac{1}{d(u)}\int_Gf(g)\chi_u(g)dg$。

因而，对于 $f\in$ ZL$^2(G)$ 我们有

所以

和

$uu$

相反，如果$\varphi$是$\widehat{G}$、元素$(\frac{\varphi(u)}{d(u)}\varepsilon_u)_{u\in\widehat{G}}$（$F( \widehat{G})$属于到$L^2( \widehat{G})$）上的平方可积复形函数，并且我们有 (公式 (9)) $(\mathscr{F}_u(\frac{\varphi(u)}{d(u)}\varepsilon_u))(g) =d(u$)Tr $(\frac{\varphi(u)}{d(u)}\varepsilon_uu(g)^{-1})=\varphi (u)\overline{\chi}_u(g)$，

所以

$u\in \widehat{G}$

注，特别是，对于$\widehat{G},^8$中的$u, v$，公式 (20) 和 (21) 给出

$u(\overline{\chi}_v) = 0$ 如果 $u\not=v$, (23)

$u(\overline{\chi}_u) =\frac{\varepsilon_u}{d(u)}\in$结束(E$_u$), (24)

$\overline{\mathscr{F}}(\chi_u) =\frac{\varepsilon_u}{d(u)}\in$结束(E$_u$)$\subset F( \widehat{G})$。 (25)

对于所有$g\in G$。

由 Th. $1b)$, 函数 $\overline{f}$ 是无限可微的当且仅当函数 $u \rightarrow \|u(\overline{f})\|_{\infty}$ 快速递减；但是，通过 (20)，

因此第一个断言，因为函数$d(u)$和$\frac{1}{d(u)}$适度递增。

假设$f$是无限可微的；通过 Th。 $1a),f(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}f_u(g)$ 对于所有 $g\in G$，所以

$f_u(g) =\langle u(g)|u(f)\rangle =d(u$)Tr($u(g)^{-1}.u(f)$)$=d(u$)Tr$(u(g)^{-1}\langle \overline{\chi}_u|f\rangle \frac{\varepsilon_u}{d(u)})$

$=\langle \overline{\chi}_u|f\rangle$Tr($u(g)^{-1}$)$=\langle \overline{\chi}_u|f\rangle \overline{\chi}_u(g)$。

因此，$f(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}\langle \overline{\chi}_u|f\rangle \overline{\chi}_u(g)$；但是，对于所有$u\in \widehat{G}$，$u$的同积表示$u'$满足$\overline{\chi}_u=\chi_{u'}$和映射$u \rightarrow u'$是$\widehat{G}$的置换；所以我们还有$f(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}\langle \chi_u|f\rangle \chi_u(g)$，因此命题。

$^8$ 我们将 End(E$_u$) 嵌入到乘积 $F( \widehat{G}) =\prod_{v\in\widehat{G}}$ End(E$_v$) 中，方法是关联到任意

$A\in$结束（E$_u$）族$(A_v)_{v\in\widehat{G}}$，使得$A_u= A$和$A_v= 0$为$v\not=u$。

确实，通过 Cor. 4 个§7, no. 4，

$\langle \chi_u|f\rangle =\int_G\overline{\lambda(u)(t)}\varphi (t)dt$，其中$\varphi (t) =\prod_{\alpha >0}(1-\alpha (t)^{-1})f(t)$。

如果 $f|T$ 是无限可微的，$\varphi$ 也是无限可微的；根据第 5 条，应用于群 T，$\widehat{T} = X(T)$ 上的函数 $\mu \rightarrow \int_T\overline{\mu(t)}\varphi (t)dt$ 则迅速递减，函数 $u \rightarrow \langle \chi_u|f\rangle$ 也如此；因此函数 $f$ 是无限可微的（命题 5）。 逆命题很清楚。