习题 5, § 7

令$k$为特征零的交换域，$k$上的V向量空间，以及$\Psi$在V上的分离二次方形式。令$\Gamma \in \mathbf{S}^2(V^*)$（或$\Gamma^*\in \mathbf{S}^2(V)$）与元素关联到$\Psi$（或$\Psi$的逆形式）。用乘积与 $\Gamma^*$ 求得的 $\mathbf{S}(V)$ 的 Q 自同态表示，用 $\mathbf{S}(V)$ 的 $\Delta$ 自同态表示，由内部乘积与 $\Gamma$ 求出，并用 $h$ 表示$\mathbf{S}(V)$的自同态，$\mathbf{S}^r(V)$的约化到$-\frac{n}{2}-r$的乘法。 a) 如果 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 是 V 的正交基，则 $Q(P) =\frac{1}{2}(\sum x^2_i).P$ 和 $\Delta (P) =\frac{1}{2}\sum\frac{\partial^2P}{\partial x^{2i}}$ 对应于 $P\in \mathbf{S}(V)$。

b) 证明公式$[\Delta ,Q] =-h,[h, \Delta ] = 2\Delta ,[h,Q] =-2Q$。

c) 令 $H_r$ 为 $\mathbf{S}^r(V)$ 的子空间被 $\Delta$ 湮没（“次数 $r$ 的调和齐次多项式”）。从 b) 推导出有直和分解，在 $\mathbf{O}(\Psi )$ 下稳定，由下式给出

$\mathbf{S}^r(V) = H_r\oplus$QH$_{r-2}\oplus Q^2H_{r-4}\oplus \cdots$。

d) 证明表示 $H_r$ 是不可约的（cf. 第 VIII, §13, no. 3, (IV)）。

e) 将$k=\mathbf{C}$和$V =\mathbf{C}^n$配备通常的二次形式$(n\geq 3)$。由此我们得到$\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$的不可约表示$\tau_r$；锻炼记号。 §4的2，证明$\tau_r$的最高权是$r\varpi_1$。

f) 令$\Gamma$为从Killing形式获得的G的卡西米尔元素。证明公式 $\Gamma_{\mathbf{S}(V)}$ = $\frac{1}{2n-4}(-4Q\Delta +(H +\frac{n}{2}I)((H +(2-\frac{n}{2})I))$。 计算 $\widetilde{\Gamma}(\tau_r)$ 并推出形式 $Q_{\Gamma}$ 的值（命题 4）。