Exercice 5, § 7

Soient $k$ un corps commutatif de caractéristique zéro, $V$ un espace vectoriel sur $k$, et $\Psi$ une forme quadratique séparante sur $V$. On associe à $\Psi$ (resp. à la forme inverse de $\Psi$) un élément $\Gamma \in S^2(V^*)$ (resp. $\Gamma^* \in S^2(V)$). On note Q l’endomorphisme de $S(V)$ produit par $\Gamma^*$, $\Delta$ l’endomorphisme de $S(V)$ produit intérieur par $\Gamma$, et $h$ l’endomorphisme de $S(V)$ qui se réduit sur $S^r(V)$ à la multiplication par $-\frac{n}{2} - r$. a) Si $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base orthonormale de $V$, on a $Q(P) = \frac{1}{2} (\sum x_i^2) . P$ et $\Delta(P) = \frac{1}{2} \sum \frac{\partial^2 P}{\partial x_i^2}$ pour $P \in S(V)$. b) Démontrer les formules $[\Delta, Q] = -h, [h, \Delta] = 2\Delta, [h, Q] = -2Q$. c) Soit $H_r$, l’espace des éléments de $S^r(V)$ annulés par $\Delta$ (« polynômes harmoniques homogènes de degré $r$ »). Déduire de b) une décomposition en somme directe, stable sous $O(\Psi)$ :

d) Montrer que la représentation $H_r$ est irréductible (cf. VIII, § 13, no 3, (IV)). e) On prend $k = \mathbf{C}$, $V = \mathbf{C}^n$ muni de la forme quadratique usuelle ($n \geq 3$). On obtient ainsi des représentations irréductibles $\tau_r$ de $\mathrm{SO}(n, \mathbf{R})$; montrer qu’avec les notations de l’exerc. 2 du § 4, le plus grand poids de $\tau_r$ est $r \varpi_1$. f) Soit $\Gamma$ l’élément de Casimir de $G$ obtenu à partir de la forme de Killing. Démontrer la formule $\Gamma_{S(V)} = \frac{1}{2n-4} \left( -4Q\Delta + \left( H + \frac{n}{2} I \right) \left( H + \left( 2 - \frac{n}{2} \right) I \right) \right)$. Calculer $\tilde{\Gamma}(\tau_r)$ et en déduire la valeur de la forme $Q_\Gamma$ (prop. 4).