Bài tập 5, § 7

Cho $k$ là một trường giao hoán có đặc số không, V là một không gian vectơ trên $k$, và $\Psi$ là một dạng toàn phương tách trên V. Cho $\Gamma \in \mathbf{S}^2(V^*)$ (resp. $\Gamma^*\in \mathbf{S}^2(V)$) là phần tử liên kết với $\Psi$ (resp. dạng nghịch đảo của $\Psi$ ). Ký hiệu Q là tự đồng cấu của $\mathbf{S}(V)$ cho bởi phép nhân với $\Gamma^*$, $\Delta$ là tự đồng cấu của $\mathbf{S}(V)$ cho bởi phép lấy tích nội với $\Gamma$, và $h$ là tự đồng cấu của $\mathbf{S}(V)$ mà hạn chế trên $\mathbf{S}^r(V)$ là phép nhân với $-\frac{n}{2}-r$. a) Nếu $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ là một cơ sở trực chuẩn của V, thì $Q(P) =\frac{1}{2}(\sum x^2_i).P$ và $\Delta (P) =\frac{1}{2}\sum\frac{\partial^2P}{\partial x^{2i}}$ với $P\in \mathbf{S}(V)$.

b) Chứng minh các công thức $[\Delta ,Q] =-h,[h, \Delta ] = 2\Delta ,[h,Q] =-2Q$.

c) Cho $H_r$ là không gian con của $\mathbf{S}^r(V)$ bị triệt tiêu bởi $\Delta$ (“các đa thức thuần nhất điều hòa của bậc $r$”). Suy ra từ b) rằng có một phân tích tổng trực tiếp, ổn định dưới $\mathbf{O}(\Psi )$, được cho bởi

$\mathbf{S}^r(V) = H_r\oplus$ QH$_{r-2}\oplus Q^2H_{r-4}\oplus \cdots$.

d) Chứng minh rằng biểu diễn $H_r$ là bất khả quy (xem Chap. VIII, §13, no. 3, (IV)).

e) Lấy $k=\mathbf{C}$, và $V =\mathbf{C}^n$ được trang bị dạng toàn phương thông thường $(n\geq 3)$. Khi đó ta thu được các biểu diễn bất khả quy $\tau_r$ của $\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$; với các ký hiệu của Exerc. 2 của §4, chứng minh rằng trọng số cao nhất của $\tau_r$ là $r\varpi_1$.

f) Cho $\Gamma$ là phần tử Casimir của G thu được từ dạng Killing. Chứng minh công thức $\Gamma_{\mathbf{S}(V)}$ = $\frac{1}{2n-4}(-4Q\Delta +(H +\frac{n}{2}I)((H +(2-\frac{n}{2})I))$. Tính $\widetilde{\Gamma}(\tau_r)$ và suy ra giá trị của dạng $Q_{\Gamma}$ (Mệnh đề 4).