首先假设H是连通的； $X(H)$的每个元素都消失在H的导出群$D(H)$上，因此我们有同态$X(H/D(H))\longrightarrow X(H)$。但$H/D(H)$是连通且可交换的，因此是环面，而$X(H/D(H))$是有限型的自由$\mathbf Z$模（*谱理论*，第II, §2, no. 1章，第1条命题的Cor.2）。一般情况下，根据序列的正确性得出

其中 $X(H_0)$ 不受有限型的影响，$X(H/H_0)$ 是有限的，$X(H)$ 是有限的型。

作者：*光谱理论*，第一章。 II, §1, no. 7，周四。 4、$a_i$的核的正交补为$a_i$生成的$X(H)$的子群$A_i$；由*loc。引用。*，Cor。 2 Th。 4、$\bigcap\operatorname{Ker}a_i$的正交补是由$A_i$生成的$X(H)$的子群，因此是命题。

回想一下（代数，第IX），通过定义，这意味着与此双线性形式相关的线性映射$X(S)\rightarrow$Hom$_{\mathbf{Z}}(\Gamma (S),\mathbf{Z})$和$\Gamma (S)\rightarrow$Hom$_{\mathbf{Z}}(X(S),\mathbf{Z})$是双射的。

直接的，如果命题的结论对于两个花环成立，那么对于他们的乘积也成立。因此，由于维数$n$的每个环面都同构于$\mathbf{U}^n$，所以我们被简化为$S =\mathbf{U}$的情况。在这种特殊情况下，断言是直接的。

设$f: S\rightarrow S'$为环面的态射。然后，线性映射 $X(f) : X(S')\rightarrow X(S)$ 和 $\Gamma (f) :\Gamma (S)\rightarrow \Gamma (S')$ 都是另一个的转置：对于所有 $a'\in X(S')$ 和所有 $X\in \Gamma$(S)，

如果$f$是从S到$S'$的李群的态射，则同态$X(f)$只是光谱理论意义上的$f$的对偶，第1章。 II, §1, no. 7。 映射 $\varphi \rightarrow \widehat{\varphi}$ 从 Hom$_{\mathbf{Z}}(X(S'),X(S))$ 到 $M(S,S')$ 在 loc 中定义。引用。是映射 $f \rightarrow X(f)$ 从 $M(S,S')$ 到 Hom$_{\mathbf{Z}}(X(S'),X(S))$ 的倒数；因此，后者是双射的。如果我们认同$\Gamma (S)$（或$\Gamma (S')$）与X（S）（或$X(S')$）的双$\mathbf{Z}$模（道具$3$）$,\Gamma (f)$重合与转置同态$X(f)$，因此命题。

由于$\rho$是半单(§1, no. 1)，因此在$\rho$很简单的情况下证明引理就足够了。 在这种情况下，End( $\widetilde{V}$) 约化中$\rho (G)$ 的交换子 Z 与同位 (代数，第 VIII, §3, no. 2，第 1 章)；因而，同态$\widetilde{\rho}$的像包含在GL($\widetilde{V}$)的子群$\mathbf{C}^*.1_V$中，并且存在$\lambda \in X(G)$使得$\widetilde{V} = \widetilde{V}_{\lambda}(G)$。

公式(9)，与$T'= T, g=n$，意味着$P(\rho ,T)$在$w$下是稳定的；此外，$\widetilde{\rho}(n)$诱导同构从$\widetilde{V}_{\lambda}(T)$到$\widetilde{V}_{w\lambda}(T)$（公式（8）），因此命题。

同态 $\rho$ 是单射的当且仅当其限制到 T 是单射的（§2, no. 6，命题 9）。此外，由于典范同态$\mathbf{G}\mathbf{L}(V)\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}( \widetilde{V})$是单射的，我们可以通过$\widetilde{\rho}$来替换$\rho$。则从(7)可知，$\rho$到T的限制到T的核是$P(\rho ,T)$的元素核的交。因而，结论由no. 1的命题2得出。

$\mathfrak{g}\mathfrak{l}( \widetilde{V})$ 扩展至 $\mathbf{C}$ 的同态 - 李代数中的 $\mathfrak{t}$ 线性表示 $L(\rho )$

此外，回想一下 (no. 1)，我们已将 $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ 上的 X(T) 线性形式 $\delta (\lambda )$ 的每个元素 $\lambda$ 关联起来，这样

(exp$_Tx$)$^{\lambda}=e^{\delta(\lambda)(x)},x\in \mathfrak{t}$。 (10)

最后回想一下（第 VII, §1, no. 1 章），对于任何映射 $\mu:\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}\rightarrow \mathbf{C}$，我们用 $v$ 的 $\widetilde{V}$ 由……组成的 $\widetilde{V}_\mu(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$ 向量子空间表示，这样对于所有$(\widetilde{L}(\rho )(u))(v) =\mu(u).v$ $u\in \mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$。

我们现在从 (7) 和 loc 中推出。引文，提案 3：

b) $\widetilde{V}$$\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$权$P(\rho ,T)$至集合映射$\delta : X(T)\rightarrow$坎$_{\mathbf{C}}(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}},\mathbf{C})$诱导双射。

注首先，如果 W 通过关联到 $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ 的 W 自同态 $L(w)_{(\mathbf{C})}$ 中的任意元素 $w$ 对 $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ 进行操作，则映射 $\delta$ 与 W 上的运算兼容X（T）和坎$_{\mathbf{C}}(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}},\mathbf{C})$。

现在假设$k=\mathbf{R}$。用$\sigma$表示$\widetilde{V}$相对于V的共轭，由$\sigma (x+iy) =x-iy$定义为V中的$x, y$；对于$\widetilde{V}$的每个复数向量子空间E，$\widetilde{V}$有理数$\mathbf{R}$的最小的子空间和包含E是$E +\sigma (E)$。特别是，对于所有$\lambda \in X(T)$，存在V的实向量子空间$V(\lambda )$，使得$\widetilde{V}$的子空间$V(\lambda )_{(\mathbf{C})}$是$\widetilde{V}_{\lambda}(T) + \widetilde{V}_{-\lambda}(T)$（注即$\sigma ( \widetilde{V}_{\lambda}(T)) = \widetilde{V}_{-\lambda}(T)$）。我们有$V(\lambda ) = V(-\lambda )$，$V(\lambda )$是由$\rho$诱导的V上T的表示的同型成分。

a) G 的中心 C(G) 是 T 的闭子群，等于根的核的交。规范映射 $X(T/C(G))\rightarrow X(T)$ 与像 Q(R) 是单射的。

b) 紧致群 C(G) 同构于离散群 $X(T)/Q(R) ($谱理论，第 1 章。 II, §1, no. 1，防御。 2）。

c) C(G) 约化到单位元素当且仅当 Q(R) 等于 X(T)。

§2, no. 2，科。 2 Th。 2、C(G)包含在T中。由于这是伴随表示的核，所以它是根的核交，在其他字子群Q(R)的正交补X(T)。因此，命题来自光谱理论，第 1 章。 II, §1, no. 7，周四。 4 和 no. 5，Th。 2.

首先假设C(G)约化到单位元素，在其他字中X(T) = Q(R)（命题8）。设$f$为G的自同构在T上的恒等式，以及$\varphi = L(f)_{(\mathbf{C})}$；那么$\varphi$是$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$的自同构，归纳出$\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$上的恒等式。由章。 VIII, §5, no. 2，命题2，存在唯一同态$\theta : Q(R)\rightarrow \mathbf{C}^*$，使得每个$\mathfrak{g}^{\alpha}$位似上都有$\varphi$诱导，比率为$\theta (\alpha )$。由于$\varphi$使$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$的实形式$\mathfrak{g}$保持稳定，因此它与$\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$的共轭$\sigma$相对于$\mathfrak{g}$交换；但是 $\sigma (\mathfrak{g}^{\alpha}) =\mathfrak{g}^{-\alpha}$，所以 $\theta (-\alpha ) =\overline{\theta(\alpha)}$ 对于所有 $\alpha \in R$。这意味着$\theta (\alpha )\theta (\alpha ) =\theta (\alpha )\theta (-\alpha ) = 1$。由此可见，$\theta$在$\mathbf{U}$中取值，因此对应通过对偶性与T的元素$t$，使得(Ad$t$)$_{(\mathbf{C})}=\varphi$，因此Int$t=f$。

一般情况下，上述适用于群$G/C(G)$，其中心约化至单位元素，及其最大值环面$T/C(G)$。由此可见，如果$f$是G的自同构归纳出T上的恒等式，则存在T的元素$t$，使得$f$和Int$t$诱导通过通向与$G/C(G)$相同的自同构商。但是，由于规范的态射 $D(G)\rightarrow G/C(G)$ 是有限覆盖（§1, no. 4，第 4 条命题的 Cor.1），$f$ 和 Int $t$ 诱导与 D(G) 相同的自同构，因此与 $D(G)\times C(G)$ 相同，因此也与 G (loc.1) 相同。引用。）。

如果 $u$ 等于 Int $g$，则 $g\in G$，子群 $H_0= Z(g)_0$ 的最大值为秩（§2, no. 2，Cor. 3）。相反，如果 H 包含最大环面 S，则自同构 $u$ 为形式 Int $s$ 和 $s\in S$（命题 9）。

(i) $R(Z(S)_0,T)$ 是$\alpha \in R(G,T)$ 的集合，使得$\alpha (S) =\{1\}$。

(ii) $Z(S)_0$ 的中心是$\alpha \in R(Z(S)_0,T)$ 的 Ker$\alpha$ 的交。

(iii) 如果 S 连通，则 Z(S) 连通。

李代数 $L(Z(S))_{(\mathbf{C})}$ 由 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 上的 S 不变量组成（第 III, §9, no. 3 章，命题 8），因此是 $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ 的直和和$\mathfrak{g}^{\alpha}$，$\alpha (S) =\{1\}$，因此 (i)。 断言(ii)由第8条命题(no. 4)得出，并且断言(iii)已经被证明(§2, no. 2，Th.2的Cor.5)。

令 $Z'_{\alpha}$ 为 (Ker $\alpha$ )$_0$ 的中心化子。到引理 2，这是 G 的连通闭子群，$R(Z'_{\alpha},T)$ 是 $\beta \in R(G,T)$ 的集合，使得 $\beta$((Ker$\alpha$ )$_0$) $=\{1\}$。显然，$\{\alpha ,-\alpha \} \subset R(Z'_{\alpha},T)$。反之，设 $\beta \in R(Z'_{\alpha},T)$；由于 (Ker $\alpha$ )$_0$ 在 Ker $\alpha$ 中具有有限指标，因此存在整数 $r\not= 0$，使得 $t^{r\beta}= 1$ 对于 $t\in$ Ker $\alpha$。从序列的精确度来看

$0\longrightarrow \mathbf{Z}\longrightarrow X(T)\longrightarrow$X(克$\alpha$)$\longrightarrow 0$

相应的由对偶性变为正合序列

0 $\longrightarrow$ Ker$\alpha \longrightarrow$ T $\longrightarrow^{\alpha}\mathbf{U}\longrightarrow 0$,

由此可见，$r\beta$ 是 $\alpha$ 的倍数；由章。 VIII, §2, no. 2，周四。 2 (i)，这意味着 $\beta \in \{\alpha ,-\alpha \}$。因此，$R(Z'_{\alpha},T) =\{\alpha ,-\alpha \}$。由此可见 (引理 2) $Z'_{\alpha}$ 的中心是 Ker$\alpha$，因此$Z'_{\alpha}= Z_{\alpha}$。最后，由 Cor.第 4 条命题 1 (§1, no. 4)，$D(Z_\alpha)$ 是 $G$ 的连通闭半单子群；它是秩$1$，因为$\mathscr{L}(Z_\alpha)(\mathbf C)=\mathfrak{g}^\alpha+\mathfrak{g}^{-\alpha}+[\mathfrak{g}^\alpha,\mathfrak{g}^{-\alpha}]$。

a) 像共 $\nu$ 通勤需核共 $\alpha$。

b) 对于所有人 $a\in\mathbf U$，*我们有*

如果 $\nu_1$ 和 $\nu_2$ 是两个态射，从 $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ 到 $G$ 具有前述属性，则存在 $a\in\mathbf U$ 这样

由 Th. 1和§3, no. 6的命题6，李群存在态射

这是具有离散核的满射。那么$\nu^{-1}(\mathbf T\cap S_\alpha)$是$\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$的最大环面（§2, no. 3，命题1）。由于$\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$的最大环面为共轭（§2, no. 2，Th.2），如果需要，我们可以假设替换$\nu$乘$\nu\circ\operatorname{Int}s$（与$s\in\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$），$\nu^{-1}(\mathbf T\cap S_\alpha)$是对角线的群矩阵 $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$。然后 对于所有 $a\in\mathbf U$ 和映射 是 $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ 的根，因此等于两个映射之一 或 （§3, no. 6，公式（19））。在第一种情况下，同态$\nu$具有所需的属性；在第二种情况下，同态$\nu\circ\operatorname{Int}\theta$有它们（loc.cit.，公式（18））。

如果$\nu_1$和$\nu_2$是两个态射，从$\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$到$G$满足指定的条件，它们都映射$\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$到$S_\alpha$（条件a）），因此是$S_\alpha$ 的两种通用覆盖物。因此，存在$\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$的自同构$\varphi$使得$\nu_2=\nu_1\circ\varphi$，并且我们通过使用no. 4的第9条命题结论。

根据前面的推论，同态$\nu_{\mathbf T}$从$\mathbf U$到$\mathbf T$，定义为

对于$a\in\mathbf U$，独立于$\nu$的选择。用$\Gamma(\mathbf U)=2\pi i\mathbf Z$元素$2\pi i$$\Gamma(\nu_{\mathbf T})$下的$K_\alpha\in\Gamma(\mathbf T)$像表示；它被称为与根* $\alpha$ 伴随的 节点向量。我们有$\langle\alpha,K_\alpha\rangle=2$，其他字（no. 2，公式（2））$\delta(\alpha)(K_\alpha)=4\pi i$；从$\mathfrak t$和$\mathscr L(S_\alpha)(\mathbf C)$的$K_\alpha$属于到交，我们有

$$K_\alpha=2\pi iH_{\delta(\alpha)}, \tag{13}$$

其中 $H_{\delta(\alpha)}$ 是与 $(\mathfrak g_{\mathbf C},\mathfrak t_{\mathbf C})$ 的根 $\delta(\alpha)$ 相关的*逆根（第 VIII, §2, no. 2 章）。在其他字中，当$\Gamma(\mathbf T)\otimes\mathbf R$通过配对与$X(T)\otimes \mathbf{R}$对偶识别时，$\langle ,\rangle ,K_{\alpha}$与逆根$\alpha^{\vee}\in (X(T)\otimes \mathbf{R})^*$识别。