由于 W 传递性地排列由 $\mathfrak{H}$ 确定的房间（§ 3, no. 2，Th.1），我们被简化为证明：令 $(C, (H_i)_{1 \leq i \leq l})$ 为有序房间，$\pi \in S_l$；那么$s_{H_1} s_{H_2} \cdots s_{H_l}$和$s_{H_{\pi(1)}} s_{H_{\pi(2)}} \cdots s_{H_{\pi(l)}}$在W中是共轭。考虑到§ 4, no. 8，第8条，这将立即从以下引理得出：

1) 我们于$n = \mathrm{Card}\, X$乘归纳出发。情况$n = 1$是直接的，所以假设$n \geqslant 2$。在$X$中存在一个终端顶点$a$（第IV，附录，no. 3，命题2）。设 $b \in X - \{a\}$ 为链接到 $a$ 的顶点（如果存在）；如果$a$没有链接到$X - \{a\}$中的任何顶点，则让$X - \{a\}$中的$b$是任意的。在所有情况下，$g_a$ 与$g_x$ 通勤$x \neq b$。令$\eta \in \mathscr{T}$使得$a$是$X$的最大的元素和$b$最大的元素$X - \{a\}$；我们让$\xi \in \mathscr{T}$并证明$p_{\xi}, p_{\eta}$是共轭。

2) 首先假设，对于$\xi$，$a$是$X$的最大的元素和$X - \{a\}$的$b$最大的元素。令$X'$为完整的子图$X - \{a\}$，这是一个森林。 定义映射$x \mapsto g'_x$从$X'$到$\Gamma$，通过将$g'_x = g_x$放入$x \neq b$、$g'_b = g_bg_a$。令$\xi', \eta'$为$\xi, \eta$到$X'$中的限制。 归纳假设适用，因此$p_{\xi'}$和$p_{\eta'}$是共轭。但很明显，在这种情况下，$p_{\xi'} = p_{\xi}, p_{\eta'} = p_{\eta}$，证明引理。

3) 假设对于$\xi$，$a$是$X$的最大的元素。令$X_1$（或$X_2$）为$X - \{a\}$、元素、集合严格大于（或小于）$b$；设$\xi_i$为$\xi$到$X_i$中的限制。然后

而这个元素就是共轭到$p_{\xi_2} p_{\xi_1} g_b g_a$。因此，我们被简化为情况 2)。

4) 在一般情况下，令$X_3$（或$X_4$）为$X$的元素中的集合严格大于（或小于）$a$；设$\xi_i$为$\xi$到$X_i$中的限制。那么$p_{\xi} = p_{\xi_3} g_a p_{\xi_4}$，这个元素就是共轭到$p_{\xi_4} p_{\xi_3} g_a$。因此，我们被简化为情况 3)。

从命题 1 可以看出，所有 Coxeter 变换都是相同的阶 $h = h(W)$。这个数称为$W$的*Coxeter数*。

令$(e^1, \ldots, e^l)$为V的基，使得$(e^i|e_j) = \delta_{ij}$。那么 C 就是由 $e^i$（§ 3, no. 9，命题 7）确定的开单纯锥体。很明显，$V'$是由$e^{r+1}, \ldots, e^l$生成的，$V''$是由$e^1, \ldots, e^r$生成的。令 q 为 V 的自同态，使得 $q(e^1) = e_1, \ldots, q(e^l) = e_l$。其矩阵相对于$(e^1, \ldots, e^l)$为$Q = ((e_i|e_j))$。我们有 $(e_i|e_j) \leq 0$ 对应 $i \neq j$（§ 3, no. 4，提案 3）。由于 W 是不可约的，因此不存在任何划分 $\{1, 2, \ldots, l\} = I_1 \cup I_2$ 使得 $(e_i|e_j) = 0$ 对于 $i \in I_1$ 和 $j \in I_2$。因而 (§ 3, no. 5, 引理 4) Q 有一个特征向量 $(a_1, \ldots, a_l)$ 所有坐标都 > 0；设a为相应的特征值。放

令$P$为$z'$和$z''$生成的平面。那么$P \cap C$是$z'$和$z''$的线性组合的集合，系数为$> 0$。 关系 $q(z) = az$ 给出 $\sum_{j=1}^l a_j e_j = \sum_{j=1}^l aa_j e^j$；标量乘以 $e_k$（其中 $k \leq r$）给出

因此，$(a-1)z'' + z'$与$e^1, \ldots, e^r$正交，即与$V''$正交。因此，$s''$使$z''$和$(a-1)z'' + z'$生成的平面保持稳定，即$P$。同样，$s'$ 使 $P$ 保持稳定。由于$z' \in P \cap V'$和$z'' \in P \cap V''$，$s'|P$和$s''|P$是相对于$Rz'$和$Rz''$的反射。

我们保留前面的记号。 $c = s's''$到$P$的限制是角度$2(\widehat{z'', z'})$的旋转（§ 2, no. 5，第6条的修正）。由于 $c$ 属于阶 $h$，因而 $W$ 的 $h$ 元素 $1, c, \ldots, c^{h-1}$ 是两两不同的；因而，元素$s', s'c, \ldots, s'c^{h-1}$是成对不同的，并且与前面的元素不同，因为$c^i|P$是旋转而$s'c^j|P$是反射。 集合

是$s'$和$s''$生成的$W$的子群$W'$，以及由相对于$Rz', Rz''$的正交反射生成的$P$群$W''$上的诱导。 $C$ 的变换乘以$W'$的元素，要么是$-C$的不相交的，要么等于$-C$。因而，$P \cap C$的变换乘以$W''$的元素，要么是$-(P \cap C)$的不相交的，要么等于$-(P \cap C)$。因而，对于 P 的合适方向，存在整数 $m > 0$ 使得 $(\overline{z''}, z') = \frac{\pi}{m}$（§ 2, no. 5，Prop.7 的 Cor.）。此外，集合$g'(C)$，对于$g' \in W'$，是成对的不相交的； 集合 $g''(P \cap C)$，对于 $g'' \in W''$，因此是成对的不相交的；所以 $W''$ 是阶 $2h$。因而$m = h$。通过定义，$c|P$是角度$\frac{2\pi}{m}$的旋转，因此有特征值$\exp \frac{2i\pi}{h}$，$\exp \frac{2i\pi(h-1)}{h}$。这就证明了$m_1 = 1, m_l = h - 1$。

$Rz'$的变换和$W'$的$Rz''$是P的$h$线$D_1, \ldots, D_h$，$P - (D_1 \cup \cdots \cup D_h)$的点是点的$W'$元素变换 $P \cap C$。因而，$\mathfrak{H}$的超平面必然沿着线$D_i$之一切割P，因此是变换乘以$\mathfrak{H}$超平面的$W'$的运算或包含$Rz'$或$Rz''$。

Now, any $H \in \mathfrak{H}$ that contains $Rz'$ is one of the hyperplanes $H_1, \ldots, H_r$. 事实上，令 $e_H$ 为单位向量与 H 正交，并且与 C 在 H 的同一侧。 然后 $e_H = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_l e_l$ 与 $\lambda_i$ 所有 $\geq 0$ (§ 3, no. 5, 引理 6, (i))。 现在$0 = (e_H|z') = \lambda_{r+1} a_{r+1} + \cdots + \lambda_l a_l$，所以

假设 $\lambda_i$ 中的两个非零，即例 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$；因为 $e_1, \ldots, e_r$ 是成对正交的，所以我们有 并且 $s_1(e_H)$ 的坐标不会具有相同的符号，这是荒谬的（*loc.cit.*）。 因此，$e_H$与向量$e_1, \ldots, e_r$之一成正比，这就证明了我们的断言。 Similarly, any $H \in \mathfrak{H}$ that contains $Rz''$ is one of the hyperplanes $H_{r+1}, \ldots, H_l$.

因此$\mathfrak{H}$包含$Rz'$的元素或$Rz''$的数是$l$。如果 $h$ 是偶数，则 $\mathrm{Card}(\mathfrak{H})$ 等于 $\frac{h}{2} l$。如果$h$是奇数，则$\mathrm{Card}(\mathfrak{H})$等于$\frac{h-1}{2} l + r$，也等于$\frac{h-1}{2} l + (l - r)$；因此$r = l - r$，所以$r = \frac{l}{2}$，和$\mathrm{Card}(\mathfrak{H}) = \frac{h-1}{2} l + \frac{l}{2} = \frac{h}{2} l$。

对于所有$x \in V$。

输入$f(x) = \sum_{u \in R_0} (x|u)^2$。很明显，$f$是$W$下的正二次形式不变量，并且自$V$的$e_i$形式基以来是非退化的。自从

W 是不可约的，存在一个常数 $\beta$ 使得 $f(x) = \beta(x|x)$ (§ 2, no. 1，命题 1)。如果 $(x_i)_{1 \leq i \leq l}$ 是标量乘积 $(x|y)$ 的 V 的正交基，则

因此$\beta = h$，证明了(4)。

我们在 Th 的证明中使用记号。 1. 由于$c|P$是通过角度$\frac{2\pi}{h}$旋转，因此$c^{h/2}$变换$z'$到$-z'$，$z''$到$-z''$，因此$z' + z'' = z$到$-z$。现在$z \in C$，所以房间$c^{h/2}(C)$必然是$-C$。

将$V' = V \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$、$S' = S(V') = S \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$和扩展将标量乘积放在V上，将厄米特形式放在$V'$上。 如果$c$是W的Coxeter变换，则存在$c \otimes 1$特征向量的$V'$由……组成的正交基$(X_i)_{1 \leq i \leq l}$（*代数*，第IX, § 7, no. 3，第4条）；此外，我们可以假设，对于$1 \leq j \leq l$，$X_j$对应到特征值$\exp \frac{2i\pi m_j}{h}$ of $c \otimes 1$。 显然，$S'$可以等同于代数$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_l]$，并且我们可以写成$u_j \otimes 1 = f_j(X_1, \ldots, X_l)$，其中$f_j$是次数$p_j$在$\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_l]$中的齐次多项式。 输入$D_j = \frac{\partial}{\partial X_j}$和$J = \det(D_k f_j)$。 Recall (§ 5, no. 4, Prop. 5) that $J(X_1, \ldots, X_l)$ is proportional to the product in $S'$ of $\mathrm{Card}(\mathfrak{H})$ vectors $y_k$ of V each of which is orthogonal to a hyperplane of $\mathfrak{H}$. 由于我们可以假设所有 $H \in \mathfrak{H}$ (注) 都有 $X_1 \notin H \otimes \mathbf{C}$，因此向量 $y_k$ 中每个$X_1$ 分量均非零，因此$J(1, 0, \ldots, 0) \neq 0$。 扩展行列式的规则现在证明$\{1, 2, \ldots, l\}$存在置换$\sigma$，使得$(D_{\sigma(j)} f_j)(1, 0, \ldots, 0) \neq 0$对于所有$j$。 由于$D_{\sigma(j)} f_j$是次数$p_j - 1$的齐次，$f_j(X_1, \ldots, X_l)$中$X_1^{p_j - 1} X_{\sigma(j)}$的系数非零。 现在$f_j(X_1, \ldots, X_l)$在$c \otimes 1$下是不变的，并且

这证明了$p_j - 1 + m_{\sigma(j)} \equiv 0$（模$h$）。 现在 $h - m_{\sigma(j)}$ 是一个指数 (公式 (2))。 如有必要，右$u_j$进行排列，我们可以假设所有$j$都有$p_j - 1 \equiv m_j$（模$h$）。 从$p_j - 1 \geq 0$和$m_j < h$开始，我们有$p_j - 1 = m_j + \mu_j h$和$\mu_j$整数$\geq 0$。 根据 § 5，命题 3，我们看到

考虑到公式 (3) 和 Th。 1 (ii)，我们获得$h \sum_{j=1}^{l} \mu_j = 0$，因此对于所有$j$，我们获得$\mu_j = 0$，最后对于所有$j$，我们获得$p_j - 1 = m_j$。

这是从关系 $m_j + 1 = p_j$ 和 § 5，Cor. 得出的。的 Th。 3.

* 是特征值的* c * 的重数* 1。

否则，S 中将存在两个非比例齐次不变量次数 2，因此在 W 下 V* 不变量上存在两个非比例二次形式，这与命题 1 中的§ 2, no. 1相反。

第一个断言源自§ 5, no. 3，命题4。假设W的指数是奇数。那么 h 是公式 (2) 的偶数，并且

因此$c^{h/2} = -1$，因为c是V的半单自同构（*代数*，第IX, § 7, no. 3章，第4条命题）。