Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。
§ 2。反思
在本段中，K 表示交换域，假设不是从no. 2 开始的特征 2。我们用 K 上的 V 向量空间来表示。
1. 伪反射
如果 1 − s 1 - s 1 − s
令 s 为 V 中的伪反射，并令 D 为 1 − s 1 - s 1 − s a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 a ∗ a^* a ∗ x ∈ V x \in V x ∈ V x − s ( x ) = ⟨ x , a ∗ ⟩ . a x - s(x) = \langle x, a^* \rangle . a x − s ( x ) = ⟨ x , a ∗ ⟩ . a
相反，给定V中的a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 a ∗ ≠ 0 a^* \neq 0 a ∗ = 0
s a , a ∗ ( x ) = x − ⟨ x , a ∗ ⟩ . a ( x ∈ V )
s_{a, a^*}(x) = x - \langle x, a^* \rangle . a \quad (x \in V)
s a , a ∗ ( x ) = x − ⟨ x , a ∗ ⟩ . a ( x ∈ V ) 定义伪反射s a , a ∗ s_{a, a^*} s a , a ∗ 1 − s a , a ∗ 1 - s_{a, a^*} 1 − s a , a ∗ 1 − s a , a ∗ 1 - s_{a, a^*} 1 − s a , a ∗ ⟨ x , a ∗ ⟩ = 0 \langle x, a^* \rangle = 0 ⟨ x , a ∗ ⟩ = 0 V ∗ V^* V ∗ s a , a ∗ s_{a, a^*} s a , a ∗ s a ∗ , a s_{a^*, a} s a ∗ , a V ∗ V^* V ∗
s a ∗ , a ( x ∗ ) = x ∗ − ⟨ x ∗ , a ⟩ . a ∗ ( x ∗ ∈ V ∗ ) .
s_{a^*, a}(x^*) = x^* - \langle x^*, a \rangle . a^* \quad (x^* \in V^*).
s a ∗ , a ( x ∗ ) = x ∗ − ⟨ x ∗ , a ⟩ . a ∗ ( x ∗ ∈ V ∗ ) . 如果 a 是非零向量，则具有向量 a* 的 伪反射 是任意伪反射 s，使得属于到像为 1 − s 1 - s 1 − s 的 *超平面是1 − s 1 - s 1 − s s ( x ) = x s(x) = x s ( x ) = x
(i) V 与 ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) ρ \rho ρ
(ii) 假设 V 是有限维的。设 B 是 ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G )
让你成为V的自同态与ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) 1 − ρ ( g ) 1 - \rho(g) 1 − ρ ( g ) u ( D ) ⊂ D u(D) \subset D u ( D ) ⊂ D α \alpha α u − α .1 u - \alpha . 1 u − α .1 u − α .1 u - \alpha . 1 u − α .1 ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) ρ \rho ρ N = V N = V N = V u = α .1 u = \alpha . 1 u = α .1
令 N（分别为 N ′ N' N ′ B ( x , y ) = 0 B(x, y) = 0 B ( x , y ) = 0 B ( y , x ) = 0 B(y, x) = 0 B ( y , x ) = 0 ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) N ′ N' N ′ ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) B ≠ 0 B \neq 0 B = 0 ρ \rho ρ N = N ′ = 0 N = N' = 0 N = N ′ = 0
由于V是有限维的，V上的每个双线性形式由公式给出
B ′ ( x , y ) = B ( u ( x ) , y )
B'(x, y) = B(u(x), y)
B ′ ( x , y ) = B ( u ( x ) , y ) 对于自同态 u 或 V。如果
B ′ B' B ′ 在
ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) 下不变，则自同态 u 与
ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) 通勤。事实上，令
x , y x, y x , y 在 V 中，并令 g 在 G 中；由于 B 和
B ′ B' B ′ 在
ρ ( G ) \rho(G) ρ ( G ) 下不变，我们有
B ( u ( ρ ( g ) ( x ) ) , y ) = B ′ ( ρ ( g ) ( x ) , y ) = B ′ ( x , ρ ( g − 1 ) ( y ) ) = B ( u ( x ) , ρ ( g − 1 ) ( y ) ) = B ( ρ ( g ) ( u ( x ) ) , y ) ,
\begin{align*}
B(u(\rho(g)(x)), y) &= B'(\rho(g)(x), y) = B'(x, \rho(g^{-1})(y)) \\
&= B(u(x), \rho(g^{-1})(y)) = B(\rho(g)(u(x)), y),
\end{align*}
B ( u ( ρ ( g ) ( x )) , y ) = B ′ ( ρ ( g ) ( x ) , y ) = B ′ ( x , ρ ( g − 1 ) ( y )) = B ( u ( x ) , ρ ( g − 1 ) ( y )) = B ( ρ ( g ) ( u ( x )) , y ) , 因此
u ( ρ ( g ) ( x ) ) = ρ ( g ) ( u ( x ) ) u(\rho(g)(x)) = \rho(g)(u(x)) u ( ρ ( g ) ( x )) = ρ ( g ) ( u ( x )) 因为 B 是非简并的。由(i)可知，K 中存在
α \alpha α ，且
u = α .1 u = \alpha.1 u = α .1 ，故
B ′ = α . B B' = \alpha.B B ′ = α . B 。
特别是，我们可以将其应用于双线性形式 B ′ ( x , y ) = B ( y , x ) B'(x, y) = B(y, x) B ′ ( x , y ) = B ( y , x ) B ( y , x ) = α . B ( x , y ) = α 2 . B ( y , x ) B(y, x) = \alpha.B(x, y) = \alpha^2.B(y, x) B ( y , x ) = α . B ( x , y ) = α 2 . B ( y , x ) x , y x, y x , y α 2 = 1 \alpha^2 = 1 α 2 = 1 α = 1 \alpha = 1 α = 1 α = − 1 \alpha = -1 α = − 1
2. 反思
回想一下，从现在开始，除非另有说明，域 K 被假定为具有与 2 不同的特性。V 中的反射是伪反射 s，使得 s 2 = 1 s^2 = 1 s 2 = 1 s − 1 s - 1 s − 1 V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − s + 1 s + 1 s + 1
令 s 为 V 中的自同态。
被以下引用 1 被以下引用 推论
(i) 如果 s 是反射，则V 是超平面 V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s −
(ii) 相反，假设V是超平面H和线D的直和，使得s ( x ) = x s(x) = x s ( x ) = x s ( y ) = − y s(y) = -y s ( y ) = − y x ∈ H x \in H x ∈ H y ∈ D y \in D y ∈ D H = V s + H = V_s^+ H = V s + D = V s − D = V_s^- D = V s − 1 − s 1 - s 1 − s
(i) 如果 s 是反射，V s + V_s^+ V s + V s + ∩ V s − V_s^+ \cap V_s^- V s + ∩ V s − x = s ( x ) = − x x = s(x) = -x x = s ( x ) = − x x = 0 x = 0 x = 0 ≠ 2 \neq 2 = 2 x x x s 2 = 1 s^2 = 1 s 2 = 1 2 x = x ′ − x ′ ′ 2x = x' - x'' 2 x = x ′ − x ′′ x ′ = s ( x ) + x x' = s(x) + x x ′ = s ( x ) + x x ′ ′ = s ( x ) − x x'' = s(x) - x x ′′ = s ( x ) − x V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − V s − V_s^- V s − V s + V_s^+ V s +
(ii) 在上述假设下，V的每个元素都可以用x ∈ H x \in H x ∈ H y ∈ D y \in D y ∈ D v = x + y v = x + y v = x + y s ( v ) = x − y s(v) = x - y s ( v ) = x − y
如果 V 是有限维的，则每次反射的行列式都是 -1。
引用了 1 引用了 命题 2
让我们反思一下V。命题 2 (i) 表明存在 V 的基 ( e 1 , … , e n ) (e_1, \ldots, e_n) ( e 1 , … , e n ) s ( e 1 ) = e 1 , … , s ( e n − 1 ) = e n − 1 s(e_1) = e_1, \ldots, s(e_{n-1}) = e_{n-1} s ( e 1 ) = e 1 , … , s ( e n − 1 ) = e n − 1 s ( e n ) = − e n s(e_n) = -e_n s ( e n ) = − e n det ( s ) = − 1 \det(s) = -1 det ( s ) = − 1
(i) 当且仅当V s − ⊂ V ′ V_s^- \subset V' V s − ⊂ V ′ V ′ ⊂ V s + V' \subset V_s^+ V ′ ⊂ V s +
(ii) 当且仅当 V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s −
(i) 如果V ′ ⊂ V s + V' \subset V_s^+ V ′ ⊂ V s + s ( x ) = x s(x) = x s ( x ) = x V ′ V' V ′ x x x s ( V ′ ) ⊂ V ′ s(V') \subset V' s ( V ′ ) ⊂ V ′ V s − ⊂ V ′ V_s^- \subset V' V s − ⊂ V ′ V ′ V' V ′ s ( x ) − x ∈ V s − ⊂ V ′ s(x) - x \in V_s^- \subset V' s ( x ) − x ∈ V s − ⊂ V ′ x x x s ( x ) ∈ V ′ s(x) \in V' s ( x ) ∈ V ′ s ( V ′ ) ⊂ V ′ s(V') \subset V' s ( V ′ ) ⊂ V ′ s ( V ′ ) ⊂ V ′ s(V') \subset V' s ( V ′ ) ⊂ V ′ V ′ ⊄ V s + V' \not\subset V_s^+ V ′ ⊂ V s + V ′ V' V ′ x x x s ( x ) ≠ x s(x) \neq x s ( x ) = x a = s ( x ) − x a = s(x) - x a = s ( x ) − x V s − V_s^- V s − a ∈ V ′ a \in V' a ∈ V ′ V s − ⊂ V ′ V_s^- \subset V' V s − ⊂ V ′
(ii) 首先假设u u u s s s x x x s ( x ) = ε . x s(x) = \varepsilon.x s ( x ) = ε . x ε = ± 1 \varepsilon = \pm 1 ε = ± 1 s ( u ( x ) ) = u ( s ( x ) ) = ε . u ( x ) s(u(x)) = u(s(x)) = \varepsilon.u(x) s ( u ( x )) = u ( s ( x )) = ε . u ( x ) V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − u u u V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − u u u u s − s u us - su u s − s u V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − u s − s u = 0 us - su = 0 u s − s u = 0
两个不同的反射 s 和 u 通勤当且仅当 V s − ⊂ V u + V_s^- \subset V_u^+ V s − ⊂ V u + V u − ⊂ V s + V_u^- \subset V_s^+ V u − ⊂ V s +
引用了 1 引用了 命题 3
如果 V s − ⊂ V u + V_s^- \subset V_u^+ V s − ⊂ V u + V u − ⊂ V s + V_u^- \subset V_s^+ V u − ⊂ V s + V u + V_u^+ V u + V u − V_u^- V u − s s s s u = u s su = us s u = u s
反之，如果s u = u s su = us s u = u s V s − V_s^- V s − u u u
a) 我们有V u − ⊂ V s − V_u^- \subset V_s^- V u − ⊂ V s − V s − ⊄ V u + V_s^- \not\subset V_u^+ V s − ⊂ V u + V u + V_u^+ V u + s s s V u + ⊂ V s + V_u^+ \subset V_s^+ V u + ⊂ V s + s = u s = u s = u
b) 我们有V s − ⊂ V u + V_s^- \subset V_u^+ V s − ⊂ V u + 1 − s 1 - s 1 − s 1 − u 1 - u 1 − u ( 1 − u ) . ( 1 − s ) = 0 (1 - u).(1 - s) = 0 ( 1 − u ) . ( 1 − s ) = 0 s s s u u u ( 1 − s ) . ( 1 − u ) = 0 (1 - s).(1 - u) = 0 ( 1 − s ) . ( 1 − u ) = 0 V u − ⊂ V s + V_u^- \subset V_s^+ V u − ⊂ V s +
3. 正交反射
假设 V 是有限维的。设 B 是V 上的非简并双线性形式。 代数，第 1 章IX, § 6, no. 3，命题 4，当且仅当子空间 V s + V_s^+ V s + V s − V_s^- V s − a a a B ( a , a ) ≠ 0 B(a, a) \neq 0 B ( a , a ) = 0
s ( x ) = x − 2 B ( x , a ) B ( a , a ) ⋅ a for any x ∈ V ,
s(x) = x - 2 \frac{B(x, a)}{B(a, a)} \cdot a \quad \text{for any } x \in V,
s ( x ) = x − 2 B ( a , a ) B ( x , a ) ⋅ a for any x ∈ V , 作者：代数，第 1 章IX, § 6, no. 4，公式 (6)。反射 s 也称为相对于 H 的正交反射。
假设 V 是有限维的。设B是V上的非简并对称双线性形式，V的X子空间和X 0 X^0 X 0
引用了 1 引用了 命题 3
(i) X 在 s 下稳定。 (ii) X 0 X^0 X 0 X 0 X^0 X 0
我们有V s + = H V_s^+ = H V s + = H V s − V_s^- V s − H 0 H^0 H 0 X ⊂ H X \subset H X ⊂ H H 0 ⊂ X H^0 \subset X H 0 ⊂ X H 0 ⊂ X H^0 \subset X H 0 ⊂ X X 0 ⊂ H X^0 \subset H X 0 ⊂ H ( X 0 ) 0 = X (X^0)^0 = X ( X 0 ) 0 = X X 0 X^0 X 0
4. 欧氏仿射空间的正交反射
我们保留前面的数的记号，并令E为仿射空间，其中V是平移的空间。在V上给予形式B，为E提供欧氏空间的结构（代数，第IX, § 6, no. 6章）。
令H为E的非各向同性超平面。关于H的对称性（代数，第IX, § 6, no. 6）也称为关于H的正交反射；我们通常用s H s_H s H s H 2 = 1 s_H^2 = 1 s H 2 = 1 s H s_H s H s H s_H s H
E E E x x x x = h + v x = h + v x = h + v h ∈ H h \in H h ∈ H v ∈ V v \in V v ∈ V H H H
s H ( h + v ) = h − v .
s_H(h + v) = h - v.
s H ( h + v ) = h − v .
令H H H H ′ H' H ′ E E E v ∈ V v \in V v ∈ V H H H H ′ = H + v H' = H + v H ′ = H + v s H ′ s H s_{H'} s_H s H ′ s H 2 v 2v 2 v
被以下引用 4 被以下引用 注 , 命题 3, V § 3 , 命题 9, V § 3 , 命题 8, VI § 2
v v v s H ′ s H s_{H'} s_H s H ′ s H V V V s H ′ s H s_{H'} s_H s H ′ s H a ∈ H ′ a \in H' a ∈ H ′ a − v ∈ H a - v \in H a − v ∈ H
s H ′ s H ( a − v ) = s H ′ ( a − v ) = a + v = ( a − v ) + 2 v ,
s_{H'} s_H(a - v) = s_{H'}(a - v) = a + v = (a - v) + 2v,
s H ′ s H ( a − v ) = s H ′ ( a − v ) = a + v = ( a − v ) + 2 v , 显示s H ′ s H s_{H'} s_H s H ′ s H 2 v 2v 2 v
设H H H H ′ H' H ′ K K K p > 0 p > 0 p > 0 p ≠ 2 p \neq 2 p = 2 s H s_H s H s H ′ s_{H'} s H ′ E E E 2 p 2p 2 p
引用了 1 引用了 命题 2, IV § 1
事实上，根据第 2 章的提案 2。 IV, § 1, no. 2，足以证明s H ′ s H s_{H'} s_H s H ′ s H 2 p 2p 2 p
5. 平面旋转的补数
在这个数中，V V V 2 π 2\pi 2 π θ \theta θ 0 ≤ θ < 2 π 0 \leq \theta < 2\pi 0 ≤ θ < 2 π 0 ≤ θ < π 0 \leq \theta < \pi 0 ≤ θ < π θ \theta θ θ \theta θ θ \theta θ ρ θ \rho_\theta ρ θ θ \theta θ
令 s 为相对于 V 线 D 的正交反射。如果Δ \Delta Δ Δ ′ \Delta' Δ ′
( s ( Δ ) , s ( Δ ′ ) ^ ) ≡ − ( Δ ^ , Δ ′ ^ ) ( m o d 2 π ) (resp. ( m o d π ) ) ) .
(s(\Delta), \widehat{s(\Delta')}) \equiv - (\widehat{\Delta}, \widehat{\Delta'}) \pmod{2\pi} \quad \text{(resp. } \pmod{\pi})).
( s ( Δ ) , s ( Δ ′ ) ) ≡ − ( Δ , Δ ′ ) ( mod 2 π ) (resp. ( mod π ))) . 令 u u u Δ \Delta Δ Δ ′ \Delta' Δ ′ s u su s u − 1 -1 − 1 ( s u ) 2 = 1 (su)^2 = 1 ( s u ) 2 = 1 u − 1 = s u s − 1 u^{-1} = sus^{-1} u − 1 = s u s − 1 s ( Δ ) s(\Delta) s ( Δ ) s ( Δ ′ ) s(\Delta') s ( Δ ′ )
我们知道s D ′ s D s_{D'} s_D s D ′ s D Δ \Delta Δ Δ ′ \Delta' Δ ′
( Δ , s D ′ s D ^ ( Δ ) ) ≡ ( Δ , s D ′ ^ ( Δ ) ) ≡ ( Δ ^ , Δ ′ ^ ) + ( Δ ′ , s D ′ ^ ( Δ ) ) ≡ ( Δ ^ , Δ ′ ^ ) + ( s D ′ ( Δ ′ ) , s D ′ ^ ( Δ ) ) ≡ ( Δ ^ , Δ ′ ^ ) − ( Δ ′ , Δ ) ≡ 2 ( Δ ^ , Δ ′ ^ ) ( m o d 2 π ) ,
\begin{align*}
(\Delta, \widehat{s_{D'} s_D}(\Delta)) &\equiv (\Delta, \widehat{s_{D'}}(\Delta)) \equiv (\widehat{\Delta}, \widehat{\Delta'}) + (\Delta', \widehat{s_{D'}}(\Delta)) \\
&\equiv (\widehat{\Delta}, \widehat{\Delta'}) + (s_{D'}(\Delta'), \widehat{s_{D'}}(\Delta)) \\
&\equiv (\widehat{\Delta}, \widehat{\Delta'}) - (\Delta', \Delta) \equiv 2(\widehat{\Delta}, \widehat{\Delta'}) \pmod{2\pi},
\end{align*}
( Δ , s D ′ s D ( Δ )) ≡ ( Δ , s D ′ ( Δ )) ≡ ( Δ , Δ ′ ) + ( Δ ′ , s D ′ ( Δ )) ≡ ( Δ , Δ ′ ) + ( s D ′ ( Δ ′ ) , s D ′ ( Δ )) ≡ ( Δ , Δ ′ ) − ( Δ ′ , Δ ) ≡ 2 ( Δ , Δ ′ ) ( mod 2 π ) , 由此得出推论。
现在让 Δ \Delta Δ Δ ′ \Delta' Δ ′
Δ ≠ Δ ′ and Δ ≠ − Δ ′ ,
\Delta \neq \Delta' \quad \text{and} \quad \Delta \neq -\Delta',
Δ = Δ ′ and Δ = − Δ ′ , 令 s 和
s ′ s' s ′ 为相对于线 D 和 D' 包含
Δ \Delta Δ 和
Δ ′ \Delta' Δ ′ 的正交反射。令
θ \theta θ 为角度
( D ^ , D ′ ^ ) (\widehat{D}, \widehat{D'}) ( D , D ′ ) 的主要度量。如果
θ ∈ π Q \theta \in \pi \mathbf{Q} θ ∈ π Q ，则用 m 最小的整数
≥ 1 \geq 1 ≥ 1 表示，使得
m θ ∈ π Z m\theta \in \pi \mathbf{Z} m θ ∈ π Z 。如果
θ ∉ π Q \theta \notin \pi \mathbf{Q} θ ∈ / π Q ，则输入
m = ∞ m = \infty m = ∞ 。令W为由s和
s ′ s' s ′ 生成的群。
群 W 是二面角*（第 IV, § 1, no. 2 章）*阶 2 m 2m 2 m n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z ρ 2 n θ \rho_{2n\theta} ρ 2 n θ ρ 2 n θ s \rho_{2n\theta} s ρ 2 n θ s ρ n θ \rho_{n\theta} ρ n θ n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z
引用了 2 引用了 IV § 1. 。考克塞特群 , 推论
命题 6 的推论表明 s ′ s s's s ′ s ( s ′ s ) n = ρ 2 n θ (s's)^n = \rho_{2n\theta} ( s ′ s ) n = ρ 2 n θ ( s ′ s ) n s = ρ 2 n θ s (s's)^n s = \rho_{2n\theta} s ( s ′ s ) n s = ρ 2 n θ s D ′ = ρ θ ( D ) D' = \rho_\theta(D) D ′ = ρ θ ( D )
令 C 为由从原点开始的开半线 Δ 1 \Delta_1 Δ 1 0 < ( Δ ^ , Δ 1 ^ ) < θ 0 < (\widehat{\Delta}, \widehat{\Delta_1}) < \theta 0 < ( Δ , Δ 1 ) < θ
被以下引用 1 被以下引用 定理 1, V § 6
θ = π / m .
\theta = \pi / m.
θ = π / m . 如果集合 n θ n \theta n θ n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z m = ∞ m = \infty m = ∞ R / 2 π Z \mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z} R /2 π Z θ = k π / m \theta = k \pi / m θ = k π / m 1 < k < m 1 < k < m 1 < k < m h k ≡ 1 hk \equiv 1 hk ≡ 1 ( D , ρ h θ ( D ) ) ≡ π / m (D, \rho_{h \theta}(D)) \equiv \pi / m ( D , ρ h θ ( D )) ≡ π / m π \pi π ρ h θ ( D ) \rho_{h \theta}(D) ρ h θ ( D )
习题
参见习题为 § 2 。