习题 14, § 4

假设群 G 几乎是简单的；用 $h$ 表示 $R(G,T)$ 的 Coxeter 数（第 VI, §1, no. 11 章）。如果存在 G 的最大环面 S，使得 $g$ 属于到 $N_G(S)$ 且其 $W_G(S)$ 中的类是 Coxeter 变换，则 G 的元素 $g$ 被称为 Coxeter 元素（loc. cit.）。

a) 证明任何两个 Coxeter 元素都是共轭（如第 10 号提案的 Cor. 证明中的no. 5 那样论证）。

b) 每个 Coxeter 元素 $g$ 都是正则且满足 $g^h=z_G$，其中 $z_G$ 是 Exerc 中定义的 C(G) 的元素。 13；特别是，根据$z_G$等于或不等于$e$，$g$为阶、$h$或$2h$（使用Exerc.$12f$）$)$。

c) 元素 $g\in G$ 是 Coxeter 元素当且仅当自同构 Ad $g\otimes 1_{\mathbf{C}}$ of $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 满足第 1 章的等效条件。 VIII, §5，锻炼。 $5f)$。

d) 证明 G 的每个正则元素 $g$ 使得 $g^h\in C(G)$ 是 Coxeter 元素；对于$p < h$，不存在正则元素$k$使得$k^p\in C(G)$。