Exercice 14, § 4

On suppose le groupe G presque simple ; on note h le nombre de Coxeter de R(G, T) (VI, § 1, n° 11). On dit qu’un élément g de G est un élément de Coxeter s’il existe un tore maximal S de G tel que g appartienne à N_G(S) et que sa classe dans W_G(S) soit une transformation de Coxeter (loc. cit.). a) Montrer que deux éléments de Coxeter sont conjugués (raisonner comme dans la démonstration du cor. de la prop. 10, n° 5). b) Un élément de Coxeter g est régulier et vérifie $g^h = z_G$, où $z_G$ est l’élément de C(G) défini dans l’exerc. 13 ; en particulier, g est d’ordre h ou 2h suivant que $z_G$ est égal ou non à e (utiliser l’exerc. 12, f)). c) Pour que $g \in G$ soit un élément de Coxeter, il faut et il suffit que l’automorphisme Ad $g \otimes 1_C$ de $g_C$ vérifie les conditions équivalentes de VIII, § 5, exerc. 5, f). d) Montrer que tout élément g de G, régulier et tel que $g^h \in C(G)$, est un élément de Coxeter ; pour $p < h$, il n’existe pas d’élément régulier k tel que $k^p \in C(G)$.