Bài tập 14, § 4

Giả sử nhóm G là gần đơn; ký hiệu số Coxeter của $R(G,T)$ là $h$ (Chương VI, §1, no. 11). Một phần tử $g$ của G được gọi là một phần tử Coxeter nếu tồn tại một xuyến cực đại S của G sao cho $g$ thuộc $N_G(S)$ và lớp của nó trong $W_G(S)$ là một phép biến đổi Coxeter (sđd.).

a) Chứng minh rằng hai phần tử Coxeter bất kỳ là liên hợp (lập luận như trong chứng minh của Hệ quả của Mệnh đề 10, no. 5).

b) Mọi phần tử Coxeter $g$ đều là chính quy và thỏa mãn $g^h=z_G$, trong đó $z_G$ là phần tử của C(G) được xác định trong Bài tập 13; đặc biệt, $g$ có cấp $h$ hoặc $2h$ tùy theo $z_G$ có hoặc không bằng $e$ (dùng Bài tập $12f$)$)$.

c) Một phần tử $g\in G$ là một phần tử Coxeter khi và chỉ khi tự đẳng cấu Ad $g\otimes 1_{\mathbf{C}}$ của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ thỏa mãn các điều kiện tương đương của Chương VIII, §5, Bài tập $5f)$.

d) Chứng minh rằng mọi phần tử chính quy $g$ của G sao cho $g^h\in C(G)$ là một phần tử Coxeter; với $p < h$, không có phần tử chính quy $k$ nào sao cho $k^p\in C(G)$.