$[X_{-\alpha}, X_{\beta}] = 0$ 如果 $\alpha \not=\beta$ (4)

(广告$X_{\alpha}$)$^{1-n(\beta ,\alpha)}X_{\beta}= 0$如果$\alpha \not=\beta$ (5)

（广告$X_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}X_{-\beta}= 0$如果$\alpha \not=\beta$。 (6)

家庭$(H_{\alpha})_{\alpha\in B}$是$\mathfrak{h}$中的基。如果$X_{\alpha}\not= 0$和$X_{-\alpha}\not= 0$对于所有$\alpha \in B$，李代数$\mathfrak{g}$由$X_{\alpha}$和$X_{-\alpha}(\alpha \in B)$生成。

（回想一下，如果 $\alpha , \beta \in B$ 和 $\alpha \not=\beta ,n(\beta , \alpha )$ 是整数 $\leq 0$，那么公式 (5) 和 (6) 就有意义。）

公式 (1)、(2)、(3) 清楚。如果$\alpha \not=\beta ,\beta -\alpha$不是根，因为R的每个元素都是B的元素的线性组合，并且整数系数全部具有相同的符号（第VI, §1, no. 6，第3章）。这就证明了(4)。鉴于章。 VI, §1, no. 3，命题9，这也证明了$\beta$定义的$\alpha$链是

因此$\beta +(1-n(\beta , \alpha ))\alpha \notin R$，证明了(5)。 等式 (6) 类似地成立。族$(H_{\alpha})_{\alpha\in B}$是$R^{\vee}$的基，因此也是$\mathfrak{h}$。如果 $X_{\alpha}\not= 0$ 和 $X_{-\alpha}\not= 0$ 对于所有 $\alpha \in B$，则 $[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =\lambda_{\alpha}H_{\alpha}$ 与 $\lambda_{\alpha}\not= 0$，因此最后一个断言由 §3, no. 3 得出，命题 9 (iii)。

$[X_{\alpha}^0, X_{-\beta}^0] = 0$如果$\alpha \not=\beta$。 (14)

事实上，关系 (9) 可以写成

从而证明(10)和(14)。 关系(11) 清楚了。下一个

因此（13）。最后，

$0 = [H_{\alpha}^0,[X_{\beta}^0, X_{-\gamma}^0]]$ $(10),(11),(14)$ (15)

$= [[H_{\alpha}^0, X_{\beta}^0]-n(\gamma , \alpha )X_{\beta}^0, X_{-\gamma}^0]$ (13)

$= [[H_{\alpha}^0, X_{\beta}^0]-n(\beta , \alpha )X_{\beta}^0, X_{-\gamma}^0]$ 由 (14);

现在，考虑空的字立即给出

所以 (15) 意味着

对于所有$\gamma_1, . . . , \gamma_n\in B$；这就证明了(12)。

从 $X_{-\alpha}^0(\emptyset ) =\alpha$ 开始，很明显 $X_{-\alpha}^0$ 是线性无关的。

假设$\sum_{\alpha}a_{\alpha}H_{\alpha}^0= 0$；那么，对于所有$\beta \in B$，

由于 det($n(\beta , \alpha )$)$\not= 0$，因此对于所有 $\alpha$，$a_{\alpha}$ = 0。假设$\sum_{\alpha}a_{\alpha}X_{\alpha}^0= 0$。鉴于公式 (7), (8), (9),

对于所有$\beta \in B$。由此可见，对于所有$\beta$，$a_{\beta}= 0$。由于 $X_{\alpha}^0, H_{\alpha}^0, X_{-\alpha}^0$ 分别是次数 $-1,0,1$，因此引理是从之前中得出的。

设I为集合$B\times \{-1,0,1\}$。输入$x_{\alpha}= (\alpha ,-1),h_{\alpha}= (\alpha ,0)$和$x_{-\alpha}= (\alpha ,1)$。令$\mathfrak{a}$为由生成的族I和以下关系器集合$\mathscr{R}$定义的李代数：

$[x_{\alpha}, x_{-\beta}]$ 如果$\alpha \not=\beta$

（cf.章节II, §2, no. 3）。到引理 1 时，E 上存在唯一的线性表示 $\rho$ $\mathfrak{a}$，使得

鉴于引理2，证明以下结果：

接下来，我们将认同$x_{\alpha}, h_{\alpha}, x_{-\alpha}$及其典范像放在$\mathfrak{a}$中。

对于所有$\alpha \in B$。

事实上，存在自由的李代数L(I)满足这些条件的内卷自同构。它使 $\mathscr{R}\cup (-\mathscr{R})$ 保持稳定，因此通过将定义传递给商，$\mathfrak{a}$ 满足条件引理的对合自同构。 唯一性源自$\mathfrak{a}$是由元素$x_{\alpha}, h_{\alpha}, x_{-\alpha}(\alpha \in B)$生成的。

这个自同构被称为$\mathfrak{a}$的规范对合自同构。

设Q为R的根权的集合；这是一个免费的 $\mathbf{Z}$ 模块，带有基 B（第 VI, §1, no. 9 章）。在自由李代数 L(I) 上存在型 Q 的分级，使得 $x_{\alpha}, h_{\alpha}, x_{-\alpha}$ 分别为次数 $\alpha ,0,-\alpha$（第 II, §2, no. 6 章）。现在 $\mathscr{R}$ 中的元素是齐次的。因此，$\mathfrak{a}$上存在唯一的型 Q 与$\mathfrak{a}$的李代数结构兼容，并且$x_{\alpha}, h_{\alpha}, x_{-\alpha}$分别为次数$\alpha ,0,-\alpha$。对于任何$\mu\in Q$，用次数$\mu$的齐次$\mathfrak{a}$的元素的$\mathfrak{a}^\mu$集合表示。

对于$\mu\in Q$，令$\mathfrak{a}^{(\mu)}$为$x\in \mathfrak{a}$的集合，使得$[h_{\alpha}, x] =\langle \mu, \alpha^{\vee}\rangle x$对于所有$\alpha \in B$。 $\mathfrak{a}^{(\mu)}$的和是直达。因此，要证明引理，只需证明$\mathfrak{a}^\mu\subset \mathfrak{a}^{(\mu)}$即可。让$\alpha \in B$。 向量空间 $\mathfrak{a}$的自同态$u$，使得$u|\mathfrak{a}^\mu=\langle \mu, \alpha^{\vee}\rangle .1$是$\mathfrak{a}$的推导，使得$ux=$（广告$h_{\alpha}$）$.x$对于$x=x_{\beta}, x=h_{\beta}, x=x_{-\beta}$；因此$u=$广告$h_{\alpha}$，这证明了我们的断言。

(ii) 李代数 $\mathfrak{a}_-$ 由家庭$(x_{-\alpha})_{\alpha\in B}$ 产生。

(iii) 家庭$(h_{\alpha})_{\alpha\in B}$ 是基向量空间 $\mathfrak{a}^0$。

(iv) 向量空间$\mathfrak{a}$是$\mathfrak{a}_+,\mathfrak{a}^0,\mathfrak{a}_-$中的直和。

令$\mathfrak{r}$（或$\mathfrak{n}$）为$(x_{\alpha})_{\alpha\in B}$（或$(x_{-\alpha})_{\alpha\in B}$）生成的$\mathfrak{a}$的谎言子代数，以及$(h_{\alpha})_{\alpha\in B}$生成的$\mathfrak{a}$的$\mathfrak{h}$、向量、子空间。由于$x_{\alpha}$是同质的，$\mathfrak{a}_+,\mathfrak{r}$的元素是$\mathfrak{a}_+$的分级子代数；因此，$[\mathfrak{h},\mathfrak{r}]\subset \mathfrak{r}$，所以$\mathfrak{h}+\mathfrak{r}$是$\mathfrak{a}$的子代数；自从

$[x_{-\alpha},\mathfrak{r}]\subset \mathfrak{h}+\mathfrak{r}$ 对于所有$\alpha \in B$。同样，$\mathfrak{n}$ 是$\mathfrak{a}_-$ 的分级子代数，$[\mathfrak{h},\mathfrak{n}]\subset \mathfrak{n},\mathfrak{h}+\mathfrak{n}$ 是$\mathfrak{n}$ 的子代数，$[x_{\alpha},\mathfrak{n}]\subset \mathfrak{h}+\mathfrak{n}$ 是所有$\alpha \in B$。输入$\mathfrak{a}'=\mathfrak{r}+\mathfrak{h}+\mathfrak{n}$。上式表明，对于所有 $\alpha \in B$，$\mathfrak{a}'$ 在 ad $x_{\alpha}$、ad $h_{\alpha}$ 和 ad $x_{-\alpha}$ 下都是稳定的，因此是 $\mathfrak{a}$ 的理想值。从 $\mathfrak{a}'$ 包含 $x_{\alpha}, h_{\alpha}, x_{-\alpha}$ 开始，对于所有 $\alpha \in B,\mathfrak{a}'=\mathfrak{a}$。由此可见，包含$\mathfrak{r}\subset \mathfrak{a}_+,\mathfrak{h}\subset \mathfrak{a}^0$、$\mathfrak{n}\subset \mathfrak{a}_-$是等式，从而证明了命题。

令 L 为 B 生成的 E 的谎言子代数。 II, §3，周四。 1、L可以与B生成的自由李代数等同。E对自身的左正则表示显然是单射的，而定义由限制到L是李代数的单射表示$\rho '$ E 上的L。设$\varphi$ 为从L 到$\mathfrak{a}_-$ 的唯一同态，对于所有$\alpha \in B$，需要从$\alpha$ 到$x_{-\alpha}$。那么，对于所有 $\alpha \in B,\rho (\varphi (\alpha ))$ 来说，在 E 上，乘法乘以$\alpha$ 等于自同态，所以$\rho \circ \varphi =\rho '$，这证明$\varphi$ 是单射的。因此，$(x_{-\alpha})_{\alpha\in B}$是$\mathfrak{a}_-$的基本族。因为$\theta (x_{-\alpha}) =x_{\alpha}$对于所有$\alpha$（cf.引理$4$）$, (x_{\alpha})_{\alpha\in B}$是$\mathfrak{a}_+$的基本家庭。

第二个公式是从第一个自同构$\theta$开始的。为了证明第一点，只要证明 $[x_{\gamma}, y_{\alpha \beta}] = 0$ 对于所有 $\gamma \in B$ 就足够了。我们区分三种情况。

情况1$:\gamma \not=\alpha$和$\gamma \not=\beta$。在这种情况下，$x_{\gamma}$与$x_{-\alpha}$和$x_{-\beta}$交换，因此与$y_{\alpha \beta}$交换。

案例2$:\gamma =\beta$。在这种情况下，$x_{\gamma}$与$x_{-\alpha}$通勤，所以

$[x_{\gamma}, y_{\alpha \beta}] =$（广告$x_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}[x_{\gamma}, x_{-\beta}]$

$=-$（广告$x_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}h_{\beta}=-n(\alpha , \beta$）（广告$x_{-\alpha}$）$^{-n(\beta ,\alpha)}x_{-\alpha}$。

如果 $n(\beta , \alpha )<0$，则此表达式为零，因为 (ad $x_{-\alpha}$)$.x_{-\alpha}= 0$。如果$n(\beta , \alpha ) = 0$，则$n(\alpha , \beta ) = 0$。在这两种情况下，$[x_{\gamma}, y_{\alpha \beta}] = 0$。

案例3$:\gamma =\alpha$。 $\mathfrak{a}$自同态代数、$[$-广告$h_{\alpha}$、广告$x_{-\alpha}] = 2$广告$x_{-\alpha}$

和[广告$x_{\alpha}$，广告$x_{-\alpha}] =$-广告$h_{\alpha}$；因而，通过 §1，引理 1，

[广告$x_{\alpha}$，（广告$x_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}] = (1-n(\beta , \alpha$））（广告$x_{-\alpha}$）$^{-n(\beta ,\alpha)}($-广告$h_{\alpha}-n(\beta , \alpha ))$。

最后，

$[x_{\gamma}, y_{\alpha \beta}] =$ [广告$x_{\alpha}$，（广告$x_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}]x_{-\beta}+$（广告$x_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}$（广告$x_{\alpha}$）$x_{-\beta}$

$=-(1-n(\beta , \alpha$))(广告$x_{-\alpha}$)$^{-n(\beta ,\alpha)}$(广告$h_{\alpha}+n(\beta , \alpha )$)$x_{-\beta}$

+（广告$x_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}$（广告$x_{\alpha}$）$x_{-\beta}$。

现在$[h_{\alpha}, x_{-\beta}] +n(\beta , \alpha )x_{-\beta}= 0$和$[x_{\alpha}, x_{-\beta}] = 0$，所以$[x_{\gamma}, y_{\alpha \beta}] = 0$。

让$\mathfrak{n}'=\sum_{\alpha ,\beta\in B,\alpha\not=\beta}kx_{\alpha \beta}$。由于每个 $x_{\alpha \beta}$ 在 $\mathfrak{a}, [\mathfrak{a}^0,\mathfrak{n}']\subset \mathfrak{n}'$ 中都是齐次的

（引理 5 和提案 2）。设 U（分别为 V）为 $\mathfrak{a}$（分别为 $\mathfrak{a}_+$）的包络代数，以及由 $\mathfrak{a}$ 的伴随物表示定义的 $\mathfrak{a}$ 上 U 的 $\sigma$ 表示。由$\mathfrak{n}'$生成的$\mathfrak{a}$的理想值是$\sigma (U)\mathfrak{n}'$。现在$\mathfrak{a}=\mathfrak{a}_++\mathfrak{a}^0+\mathfrak{a}_-$（提案$2$）$,\sigma (\mathfrak{a}_-)\mathfrak{n}'= 0$（引理6），以及前面的$\sigma (\mathfrak{a}^0)\mathfrak{n}'\subset \mathfrak{n}'$。通过Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，$\sigma (U)\mathfrak{n}'=\sigma (V)\mathfrak{n}'$，证明了引理的第一个断言。由此可见，由$\theta (x_{\alpha \beta}) =y_{\alpha \beta}(\alpha , \beta \in B, \alpha \not=\beta )$生成的$\theta (\mathfrak{a}_+) =\mathfrak{a}_-$的理想是$\mathfrak{a}$的理想$\theta (\mathfrak{n})$。 Q.E.D.

$\mathfrak{a}$ 的理想$\mathfrak{n}+\theta (\mathfrak{n})$ 是分级的，因为它是由齐次元素生成的。因而，李代数$\mathfrak{a}/(\mathfrak{n}+\theta (\mathfrak{n}))$是Q级李代数；在本段的其余部分中，它由$\mathfrak{g}_B$表示，或简称为$\mathfrak{g}$。根据命题 2，如果 $\mathfrak{g}^\mu\not= 0$，则$\mu\in Q_+$、或 $\mu\in Q_-$、或 $\mu= 0$。用$\mathfrak{g}$中$x_{\alpha}$（或$h_{\alpha}, x_{-\alpha}$）的$X_{\alpha}$（或$H_{\alpha}, X_{-\alpha}$）典范像表示。鉴于$\mathfrak{a},\mathfrak{n}$和$\theta (\mathfrak{n})$的定义，可以得出$\mathfrak{g}$是由生成的族$((X_{\alpha}, H_{\alpha}, X_{-\alpha}))_{\alpha\in B}$和关系定义的李代数

（广告$X_{\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}X_{\beta}= 0(\alpha \not=\beta )$ (21)

（广告$X_{-\alpha}$）$^{1-n(\beta ,\alpha)}X_{-\beta}= 0(\alpha \not=\beta )$。 (22)

设$z\in \mathfrak{g}$和$\mu\in Q$。那么$z\in \mathfrak{g}^\mu$当且仅当$[H_{\alpha}, z] =\langle \mu, \alpha^{\vee}\rangle z$对于所有$\alpha \in B$。这是从引理 5 得出的。

从$\mathfrak{a}^0\cap (\mathfrak{n}+\theta (\mathfrak{n})) = 0$开始，从$\mathfrak{a}^0$到$\mathfrak{g}^0$的规范映射是同构。因而，$(H_{\alpha})_{\alpha\in B}$ 是向量空间 $\mathfrak{g}^0$ 中的基。 $\mathfrak{g}_B$中的交换子代数$\mathfrak{g}^0$将由$\mathfrak{h}_B$或简称为$\mathfrak{h}$表示。从V到$\mathfrak{h}^*$存在唯一的同构$\mu \rightarrow \mu_B$，使得$\langle \mu_B, H_{\alpha}\rangle =\langle \mu, \alpha^{\vee}\rangle$适用于所有$\mu\in V$和所有$\alpha \in B$。

$\mathfrak{a}$ 定义的对合自同构 $\theta$ 通过传递给 $\mathfrak{g}$ 的对合自同构也将由 $\theta$ 表示。我们有 $\alpha \in B\cup (-B)$ 和 $\theta (H_{\alpha}) =-H_{\alpha}$ 的 $\theta (X_{\alpha}) =X_{-\alpha}$。

证明遵循引理 8、9、10、11。

假设$\alpha \in B$。令 $\mathfrak{g}'$ 为 $z\in \mathfrak{g}$ 的集合，使得 (ad $X_{\alpha}$)$^pz= 0$ 为足够大 $p$。由于广告$X_{\alpha}$是$\mathfrak{g},\mathfrak{g}'$的推导，是$\mathfrak{g}$的子代数。到 (21)，$X_{\beta}\in \mathfrak{g}'$ 对于所有 $\beta \in B$。对于所有 $\beta \in B$，按 (17)、(19)、(20)、$H_{\beta}\in \mathfrak{g}'$ 和 $X_{-\beta}\in \mathfrak{g}'$。因此 $\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}$ 和 ad $X_{\alpha}$ 是局部幂零的。由于 ad $X_{-\alpha}=\theta$(ad $X_{\alpha}$)$\theta^{-1}$，我们看到 ad $X_{-\alpha}$ 是局部幂零的。

我们将看到 $\mathfrak{g}$ 是有限维的，因此 ad $X_{\alpha}$ 实际上是幂零的。

对于所有$\alpha \in B$，令$s_{\alpha}$为由$\alpha$定义的V的反射。由于W(R)是由$s_{\alpha}$（第VI, §1, no. 5，注1）生成的，所以当$w=s_{\alpha}$时证明引理就足够了。鉴于引理8，我们可以定义

已验证如章节所示。 I, §6, no. 8，$\theta_{\alpha}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的自同构。我们有

向量空间 V 的 $^1$ 自同态 $u$ 被称为局部幂零（或几乎

幂零）如果对于每个$v\in V$，存在正整数$n$使得$u^n(v) = 0$

（cf.交换代数，第IV, §1, no. 4章，定义2）。那么 exp($u$) 或 $e^u$ 就是

由公式 $e^u(v) =\sum_{n\geq 0}(1/n$!)$u^n(v)$ 定义为所有 $v\in V$。 $\theta_{\alpha}(H_{\alpha}) =e^{adX_{\alpha}}e^{adX_{-\alpha}}(H_{\beta}-n(\alpha , \beta )X_{\alpha})$

如果$z\in \mathfrak{g}^\mu$，

所以$\theta_{\alpha}^{-1}z\in \mathfrak{g}^{s_{\alpha}\mu}$。这表明$\theta^{-1}_{\alpha}\mathfrak{g}^\mu\subset \mathfrak{g}^{s_{\alpha}\mu}$。由于$\theta_{\alpha}$是自同构，并且由于这个包含对于所有$\mu\in Q$都成立，所以我们看到$\theta_{\alpha}^{-1}\mathfrak{g}^\mu=\mathfrak{g}^{s_{\alpha}\mu}$，这证明了引理。