习题 3, § 4

设 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 为分裂的半单李代数，R 相应的根系，R 的 B 基。对于任意 $\alpha \in B$（或任意对 $(\alpha , \beta )\in B^2$），令 $R(\alpha )$（或$R(\alpha , \beta )$）是由$\pm \alpha$形成的R的闭子集（分别是R 包含$\pm \alpha$和$\pm \beta$的最小的闭子集）。令$\mathfrak{g}(\alpha )$（或$\mathfrak{g}(\alpha , \beta )$）为代数$\mathfrak{h}+\mathfrak{g}^{R(\alpha)}$（或$\mathfrak{h}+\mathfrak{g}^{R(\alpha ,\beta)}$）、cf.§3的派生代数。

a) 证明$\mathfrak{g}(\alpha ) =kH_{\alpha}\oplus \mathfrak{g}^{\alpha}\oplus \mathfrak{g}^{-\alpha}$；它与$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$同构的。

b) 证明$\mathfrak{g}(\alpha , \beta )$是半单，并且它是由$\mathfrak{g}(\alpha )$和$\mathfrak{g}(\beta )$生成的。它的根系可以用$R(\alpha , \beta )$来识别。

c) 设$\mathfrak{s}$为李代数（不一定是有限维）。对于所有$\alpha \in B$，令$f_{\alpha}$为从$\mathfrak{g}(\alpha )$到$\mathfrak{s}$的同态。假设对于任何对$(\alpha , \beta )$，都存在同态$f_{\alpha \beta}:\mathfrak{g}(\alpha , \beta )\rightarrow \mathfrak{s}$，扩展同时存在$f_{\alpha}$和$f_{\beta}$。证明，在这种情况下，存在唯一同态 $f:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{s}$ 扩展 $f_{\alpha}$。 （使用提案 4 (i)。）