紧群的结构

用有限维复数 Hilbert 空间上 G 的不可约连续酉表示 $\widehat{G}$ 集合类表示（谱理论，准备中）。对于所有$u\in \widehat{G}$，令$Hu$为与$u$伴随的$u$和$\rho_u: G\rightarrow \mathbf{U}(H_u)$同态的空间。根据Peter-Weyl 定理（谱理论，准备中），从G到$\prod_{u\in\widehat{G}}\mathbf{U}(H_u)$连续的同态$\rho = (\rho_u)_{u\in\widehat{G}}$是单射的；由于 G 是紧致的，$\rho$ 诱导同构

从 G 到群 $\prod_{u\in\widehat{G}}\mathbf{U}(H_u)$ 的闭子群。

设$(K_{\lambda})_{\lambda\in L}$是紧李群的族，这样G可以用$\prod_{\lambda\in L}K_{\lambda}$的闭子群来识别；对于$\lambda \in L$，将$p_{\lambda}: G\rightarrow K_{\lambda}$限制降级为规范投影的G。存在有限子集$J\subset L$，并且对于$K_{\lambda}$中原点的每个$\lambda \in J$邻域$V_{\lambda}$，使得V包含$\bigcap_{\lambda\in J}p^{-1}_{\lambda}(V_{\lambda})$。现在放入 $H =\bigcap_{\lambda\in J}$ Ker($p_{\lambda}$) 就足够了。

用 G 的闭正常子群的$(H_{\alpha})_{\alpha\in I}$递减滤波族表示，使得商$G/H_{\alpha}$为李群。考虑紧李群$G/H_{\alpha}$的投影系统（cf.一般拓扑，第III, §7, no. 2章，命题2）。

确实，科. 1 暗示一般拓扑，第 1 章的条件 (PA)。 III, §7, no. 2，满意； 断言现在遵循 loc 的 Prop. 2。引用。

这个条件的必要性已经被证明了（第2章III, §4, no. 2，Cor.1），充分性是Cor.1的直接的推论。 1.

a) 子群 $D(G_{\alpha})$（分别$C(G_{\alpha})$，分别$C(G_{\alpha})_0$）形式子集 $G_{\alpha}$ 的投影系统。

b) 我们有 D(G) = lim$_{_{\leftarrow -}\alpha}\overline{D(G_{\alpha})}$ 和 C(G) = lim$_{_{\leftarrow -}\alpha}C(G_{\alpha})$。

c) 如果$G_{\alpha}$ 对于所有$\alpha \in I$ 都是紧致的，则$C(G)_0=$ lim$_{_{\leftarrow -}\alpha}C(G_{\alpha})_0$。

令$\alpha , \beta$为I的两个元素，其中$\alpha \leq \beta$。然后 $f_{\alpha \beta}(D(G_{\beta}))\subset D(G_{\alpha})$ 和 $f_{\alpha \beta}(C(G_{\beta}))\subset C(G_{\alpha})$，因为 $f_{\alpha \beta}$ 是满射；由于 $f_{\alpha \beta}$ 是连续的，因此有 $f_{\alpha \beta}(\overline{D(G_{\beta})})\subset \overline{D(G_{\alpha})}$ 和 $f_{\alpha \beta}(C(G_{\beta})_0)\subset C(G_{\alpha})_0$，因此 a)。由于 $f_{\alpha}$ 是满射，$f_{\alpha}(D(G)) = D(G_{\alpha})$（代数，第 I, §6, no. 2 章，第 6 条命题），因此 $\overline{D(G)}=$ lim$_{\leftarrow -}\overline{D(G_{\alpha})}$（一般拓扑，第 I, §4, no. 4 章，第 9 条命题的修正）。 $f_{\alpha}$ 的满射性也意味着包含 $f_{\alpha}(C(G))\subset$ $C(G_{\alpha})$，因此包含$C(G)\subset$ lim$_{\leftarrow -}C(G_{\alpha})$；相反的内含物是直接的。最后，断言 c) 源自 b) 和一般拓扑，第 1 章。 III, §7, no. 2，提案 4）。

用$S_a$（分别$T_b$）的$\mathfrak{s}_a$（分别$\mathfrak{t}_b$）李代数表示$a\in A$（分别$b\in B$），并考虑同态$L(u) :\prod_{a\in A}\mathfrak{s}_a\rightarrow \prod_{b\in B}\mathfrak{t}_b$。 核

是半单李代数$\prod_{a\in A}\mathfrak{s}_a$的理想，因此是形式$\prod_{a\in A''}\mathfrak{s}_a$，以及$A''\subset A$（第I, §6, no. 2章，Cor.1）。把$A'= A$-- $A''$。由

限制、$L(u)$诱导同构$f:\prod_{a\in A'}\mathfrak{s}_a\rightarrow \prod_{b\in B}\mathfrak{t}_b$。按地点。前述，对于所有$a\in A'$，理想的$f(\mathfrak{s}_a)$等于$\mathfrak{t}_b$之一；因此，存在双射$l: B\rightarrow A'$使得$f(\mathfrak{s}_{l(b)}) =\mathfrak{t}_b$对应$b\in B$，以及$f$诱导同构$f_b:\mathfrak{s}_{l(b)}\rightarrow \mathfrak{t}_b$。由于群 $S_a$ 和 $T_b$ 是单连通的，因此存在同构 $u_b: S_{l(b)}\rightarrow T_b$，使得 $L(u_b) =f_b$ 对应 $b\in B$（第 III, §6, no. 3 第 3 章）。

由 $\widetilde{u}:\prod_{a\in A}S_a\rightarrow \prod_{b\in B}T_b$ 表示态射由 $\widetilde{u}((s_a)_{a\in A}) =$ 定义

$(u_b(s_{l(b)}))_{b\in B}$。由构造，$L(\widetilde{u}) =f= L(u)$，所以$\widetilde{u}=u$，从而证明引理。

对于所有 $\alpha \in I$，群 $G_{\alpha}$ 是几乎简单、简单连接的有限族子群 $(S^{\lambda}_{\alpha})_{\lambda\in L_{\alpha}}$ 的直接乘积（第 III, §9, no. 8 章，第 28 条命题）。让$\beta \in I,\beta \geq \alpha$。到引理 2，存在映射 $l_{\beta \alpha}: L_{\alpha}\rightarrow L_{\beta}$，使得$f_{\alpha \beta}(S^{l_{\beta \alpha}(\lambda)}_{\beta}) = S^{\lambda}_{\alpha}$对应$\lambda \in L_{\alpha}$。我们有 $l_{\gamma \beta}\circ l_{\beta \alpha}=l_{\gamma \alpha}$ 对应 $\alpha \leq \beta \leq \gamma$，因此 $(L_{\alpha}, l_{\beta \alpha})$ 是集合相对于 I 的归纳系统。设L为其极限； 映射 $l_{\beta \alpha}$是单射的，$L_{\alpha}$可以与L的子集等同，因此$L =\bigcup_{\alpha\in I}L_{\alpha}$。

让$\lambda \in L$。当$\lambda \notin L_{\alpha}$时置$S^{\lambda}_{\alpha}=\{1\}$，并表示由$f_{\alpha \beta}$诱发$\varphi^{\lambda}_{\alpha \beta}: S^{\lambda}_{\beta}\rightarrow S^{\lambda}_{\alpha}$态射；这给出了拓扑群$(S^{\lambda}_{\alpha}, \varphi^{\lambda}_{\alpha \beta})$的射影系统，其极限与$S_{\lambda}$同构的。拓扑典范同态群

林$_{_{\leftarrow -\alpha\in I}}((\prod_{\lambda\in L}S^{\lambda}_{\alpha})\rightarrow \prod_{\lambda\in L}($林$_{_{\alpha\leftarrow -\in I}}S^{\lambda}_{\alpha})$

是双射的（集合论，第III, §7, no. 3章，Cor.2）；因此它是同构，因为所讨论的群是紧凑的。但第一个群可以用G来识别，第二个可以用$S_{\lambda}$的乘积来识别，因此是引理。

a$) C(G)_0$ 是可交换连通紧群； D(G) 是连通紧凑群，等于其导出群。

b) 从$C(G)_0\times D(G)$到G的连续同态$(x, y) \rightarrow xy$是满射的，它的核是$C(G)_0\times D(G)$的中心子群，是紧致且完全不连续的。

c) 存在一个几乎简单的紧李群族$(S_{\lambda})_{\lambda\in L}$和一个满射连续同态$\prod_{\lambda\in L}S_{\lambda}\rightarrow D(G)$，其核是

完全不连续、紧凑、居中子群。

令$(G_{\alpha}, f_{\alpha \beta})$为紧李群的投影系统，相对于过滤后的集合I，使得G与lim$_{\leftarrow -}G_{\alpha}$同构的，并且规范的映射$f_{\alpha}: G\rightarrow G_{\alpha}$是满射的（第1条的Cor.2）。对于$\alpha \in I$，令$\pi_{\alpha}: \widetilde{D}(G_{\alpha})\rightarrow D(G_{\alpha})$是群$D(G_{\alpha})$的通用覆盖。 $f_{\alpha \beta}$诱导态射$\widetilde{f}_{\alpha \beta}: \widetilde{D}(G_{\beta})\rightarrow \widetilde{D}(G_{\alpha})$和$( \widetilde{D}(G_{\alpha}),\widetilde{f}_{\alpha \beta})$是拓扑群满足引理3的假设的射影系统。

由此引理可知，拓扑群 lim$_{\leftarrow -}\widetilde{D}(G_{\alpha})$同构于几乎简单的紧李群族$(S_{\lambda})_{\lambda\in L}$的乘积。 By Lemma 1, the limit of the projective system of homomorphisms $(\pi_{\alpha})$ can be identified with a continuous homomorphism $\pi :\prod_{\lambda\in L}S_{\lambda}\rightarrow D(G)$,

这是满射的（通则拓扑，第 I, §9, no. 6 章，第 8 号命题的 Cor. 2）。

现在观察群 $\prod_{\lambda\in L}S_{\lambda}$ 等于其导出群：

源自 §4, no. 5，Cor。命题 10 的结论。对于 D(G) 也是如此，因为 $\pi$ 是满射。因而，$D(G)\supset D(D(G)) = D(G)$。因而，群 D(G) 是紧的并且等于它的导出群；这证明了a)，因为断言关于$C(G)_0$是微不足道的。

另一方面，可以识别$\pi :\prod_{\lambda\in L}S_{\lambda}\rightarrow D(G)$的核

与 lim$_{\leftarrow -}$ Ker($\pi_{\alpha}$) $($代数，第 1 章II, §6, no. 1, 注 1)，因此有

紧凑，完全不连续，中心子群，因而 c)。

我们证明b）。对于I中的所有$\alpha$，态射$s_{\alpha}: C(G_{\alpha})_0\times D(G_{\alpha})\rightarrow G_{\alpha}$，使得$x\in C(G_{\alpha})_0, y\in D(G_{\alpha})$的$s_{\alpha}(x, y) =xy$是满射，并且其核是有限中心子群（§1, no. 4，第4条的Cor.1）。 $s_{\alpha}$ 形式映射的射影系统，其极限可以通过前面的内容与从 $C(G)_0\times D(G)$ 到 G 的同态 $(x, y) \rightarrow xy$ 等同。我们现在将其视为之前，这个映射是满射且其核位于中心且完全不连续，因而 b)。

事实上，导出群是可解的并且等于它的导出群（命题$2a$）$)$，因此减少到单位元素。