令$\phi$为$G \times G$到G中的连续映射$(x, y) \mapsto x^{-1}y^{-1}xy$。然后$\phi(A \times B) \subset (A, B)$，因此$\phi(\overline{A} \times \overline{B}) \subset (\overline{A}, \overline{B})$，因此

相反的包含是明显的，因此 $(\overline{A}, \overline{B}) = (\overline{A}, \overline{B})$。显然$\overline{D^0A} = \overline{D^0A}$；假设等式 $\overline{D^iA} = \overline{D^iA}$，则

因此对于所有 $i$ 来说，$\overline{D^iA} = \overline{D^iA}$。 公式 $\overline{C^iA} = \overline{C^iA}$ 的证明类似。

§ 9.2

这紧随命题 1 而来。

对于 B 中的固定 y，(x, y) 的集合 M_y 与 x ∈ A 是连通的（对于 A 到 G 的映射 x ↦ (x, y) 是连续的）。 e ∈ M_y，因此 M_y 的并 R 与 y ∈ B 是相连的。但(A, B)是R生成的G的子群，从而命题。

令a ∈ h_1, b ∈ h_2。 K 中存在 0 的开邻域 I，并且解析 I 的映射 f_1, f_2 到 G 中，使得

我们写

我们通过映射 e 到 0 的图表将 G 中 e 的开邻域与 K' 的开子集认同认同邻域认同邻域和 K' 的开子集联系起来。那么L(G) 就可以用 K' 来识别。将 f(\lambda, \mu) 的 § 5, no. 2, 命题 1, 展开作为关于原点的级数积分为

其中 a_{ij} ∈ K'（f(\lambda, \mu) 的展开中 \lambda^i 中的项和 \mu^j 为零，因为 f(\lambda, 0) = f(0, \mu) = 0）。我们将 \mu 修正为 I。令 lambda 趋于 0，我们看到 由于这对于所有 \mu ∈ I 都是正确的，因此 [a, b] ∈ h。

假设$[L(A), L(B)] \subset L(C)$。 和$L(A) + L(B) + L(C)$是$L(G)$的谎言子代数。通过考虑 $G$ 的积分子群与李代数 $L(A) + L(B) + L(C)$，问题被简化为以下情况：

且$G$已连接。那么$L(C)$就是$L(G)$的理想。首先假设 $G$ 是单连通的。那么 $C$ 就是 $G$ (§ 6, no. 6, 命题 14) 的正常谎言子群。令$\phi$为$G$到$G/C$的规范态射。然后

因此 $\phi(A)$ 和 $\phi(B)$ 乘坐 Hausdorff 公式通勤；因此$(A, B) \subset C$。在一般情况下，令$G'$为$G$和$A', B', C'$的全覆盖，$G'$的积分子群使得$L(A') = L(A), L(B') = L(B), L(C') = L(C)$。那么$(A', B') \subset C'$和$A, B, C$分别是$G$、从而$(A, B) \subset C$中$A', B', C'$的典范像。另一方面，$(A, B)$是$G$的积分子群（§ 6, no. 2，命题4的推论）及其李代数包含$[L(A), L(B)]$（命题3）的基础集合。如果

然后$(A, B) \supset C$，从而$(A, B) = C$。

第一个断言是从命题 4 到 $i$ 上的归纳之后的。第二个紧接第一个和§ 6, no. 6、命题 14。

让$a = L(A)$。令 $G_1$ 为 $g \in G$ 的集合，使得

那么$G_1$是$G$的闭子群。如果$y \in a$，则$\exp y \in G_1$，通过§ 6, no. 4，推论3 (ii) 到命题 10。因此$G_1$包含$A$，因此$\overline{A}$。因此，对于$g \in \overline{A}$，$L(\mathrm{Int}\, g)$使$a$稳定，因此$\mathrm{Int}\, g$使$A$稳定；更准确地说，$L(\mathrm{Int}\, g)$定义是$a/\mathscr{D}a$的恒等式自同构，因此$\mathrm{Int}\, g$定义是$A/DA$的恒等式自同构。这就证明了$(\overline{A}, A) \subset DA$。 实李群结构在$G$上，$\overline{A}$是谎言子群（§ 8, no. 2，定理2）；令$b$为其李代数。令 $G_2$ 为 $g \in G$ 的集合，使得

由上可知，$G_2 \supseteq A$，因此$G_2 \supseteq \overline{A}$。因此，对于 $g \in \overline{A}$，Int $g$ 使 DA 保持稳定，并且定义 $\overline{A}/DA$ 的恒等式自同构。因此$DA \supseteq D\overline{A}$。

假设$[L(A), L(B)] \subset L(C)$。如命题 4 的证明所示，问题约化对于$L(C)$ 是$L(G)$ 的理想的情况。然后，通过替换 G 通过开子群，约化到C 在 G 中正常的情况（$§ 7$，no. 1，命题 2）。令 $\phi$ 为 G 在 $G/C$ 上的规范态射。然后

由豪斯多夫公式，存在A、B的开子群A'、B'，使得$\phi(A')$和$\phi(B')$通勤，从而$(A', B') \subset C$。进一步假设 到命题 3 时，谎言子代数在 $e$ 包含 $L(C)$ 与 $(A', B')$ 相切。因此$(A', B')$包含是G的谎言子群胚芽与李代数$L(C)$。因此$(A', B')$是C的开子群。

(a) 通过命题 3 归纳应用，对于 G 的每个开路子群 $G_1$ 以及所有 $i$、$D^iG_1$ 包含，G 的谎言子群芽与李代数 $\mathscr{D}^ig$。

(b) 令$G'$为G的开子群，使得对于$i \leq n$，$D^iG'$是G的谎言子群且李代数$\mathscr{D}^ig$。 到命题 6，存在$D^nG'$的开子群$H_1, H_2$，使得$(H_1, H_2)$是一个谎言子群与李代数$\mathscr{D}^{n+1}g$。 令$G''$是$G'$的开子群，对于$D^nG'' \subset H_1 \cap H_2$来说足够小。 然后$D^{n+1}G'' \subset (H_1, H_2)$。 The relations

prove, using (a), that $D^iG''$ is, for $i \leq n + 1$, a Lie subgroup of G with Lie algebra $\mathscr{D}^ig$.

(c) 存在整数$p$使得$\mathscr{D}^pg = \mathscr{D}^{p+1}g = \cdots$。由上可知，存在 G 的开子群 $G_0$，使得 $D^iG_0$ 对于 $i \leq p$ 来说是 G 的一个谎言子群与李代数 $\mathscr{D}^ig$。但是，根据 (a)，自 $D^pG_0 \supset D^iG_0$ 对于 $i > p$ 以来，相同的断言对于$i > p$ 仍然成立。

(d) $C^i$ 的论证类似。

这是从§ 3、命题 44 和推论 2 到命题 39 得出的。

假设 $A$ 由单个点 $a$ 组成。则$Z_G(A)$为$\mathrm{Int}\, a$固定点集合；因此，$Z_G(A)$是$G$的谎言子群，$\mathbf{L}(Z_G(A))$是$\mathrm{Ad}\, a$的固定点的集合，即$\mathfrak{z}_g(A)$（§ 3, no. 8，推论1到命题29）。一般情况通过§ 6, no. 2，推论3到命题1。

让$x \in G$。然后

因此$Z_G(A) = Z_G(a)$。让$u \in g$。然后 因此$\mathfrak{z}_g(A) = \mathfrak{z}_g(a)$。然后从命题 7 或命题 8 得出最后一个断言。

假设 $L(G)$ 幂零。如果 $K = \mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$，G 的恒等分量 $G_0$ 是幂零的，命题 4、no. 2 的推论，$G_0$ 在 G 中是开的。如果 K 是超度量的，命题 6、no. 2 的推论证明存在打开 G 的子群 $G_1$，G 中 e 的整数 $i > 0$ 和邻域 V，使得 $C^iG_1 \cap V = \{e\}$。那么，如果$G_0$是$G_1$、$C^iG_0 \subset V$足够小的子群，因此$C^iG_0 = \{e\}$和$G_0$是幂零的。

设$g$为幂零李代数。 Hausdorff 级数 $H(X, Y)$ 相应的到 $g$ 只有非零项的有限数并且我们知道 (章 II, § 6, no. 5, 注 3) 律合成$(x, y) \mapsto H(x, y)$定义群结构$g$。进一步假设 $g$ 是完备且规范的。显然律 H 是连续多项式（*可微且解析流形*，R，附录）。因此，$g$与律 H一起，是李群 G，据说与*$g$*相关。 § 4, no. 2、引理 2 和 3、$L(G) = g$。 $g$的恒等映射$\phi$到$G$是$G$的指数映射，使得$\phi(\lambda x)\phi(\lambda'x) = \phi((\lambda + \lambda')x)$对于所有$x \in g, \lambda \in K, \lambda' \in K$。 $g$的每个谎言子代数$\mathfrak{h}$承认拓扑补充都是$G$和$L(H) = \mathfrak{h}$的谎言子群$H$。

(i) $\exp_G$ 是李群中的同构，与$L(G)$ 关联到$G$。

(ii) $G$ 的每个积分子群都是 $G$ 的单连通李子子群。

设 $g = L(G)$，它是幂零的 (命题 12)。由于$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$上的两个单连通李群具有相同的李代数，它们是同构的（$§ 6$，no. 3，定理 3 (ii)），当$G$为群时，只需证明命题即可与$g$相关。然后（i）和（ii）从所说的之前命题得出。

(i) 如果 $G$ 幂零，$\exp_G$ 是 étale 和满射。

(ii) 如果 $K = \mathbf{C}$ 和 $\exp_G$ 是 étale，则 $G$ 幂零。

令$G'$为$G$的通用覆盖空间。令$\phi$为$G'$到$G$的规范态射。然后 $\exp_G = \phi \circ \exp_{G'}$ ($§ 6$, no. 4, 命题 10)，因此从命题 13 (i) 得出 (i)。

如果$K = \mathbf{C}$和$\exp$是étale，那么，对于所有$x \in L(G)$和$x$，没有特征值、属于到$2i\pi(\mathbf{Z} - \{0\})$（$§ 6$、no. 4，命题12的推论）。 应用到$\lambda x$，其中$\lambda$变化到$\mathbf{C}$，因此$\mathrm{ad}\, x$的所有特征值都是零，因此$\mathrm{ad}\, x$是幂零的。因此$L(G)$是幂零的（章I，$§ 4$，推论1到定理1），因此$G$是幂零的（命题12）。

通过命题 9 of no. 3就足以证明$Z_G(A)$是连通的。让$g \in Z_G(A)$。存在$x \in L(G)$使得$g = \exp x$(命题14)。然后 $\mathrm{Ad}\, g|L(A) = 1$ (no. 3, 命题 9)，因此对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ 是 $\mathrm{Ad}\, g^n|L(A) = 1$，对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ 是 $\exp(\mathrm{ad}\, nx)|L(A) = 1$。作为映射

$K$ 到 $\mathscr{L}(L(A), L(G))$ 的乘积是多项式，$\exp(\mathrm{ad}\, \lambda x)|L(A) = 1$ 对于所有 $\lambda \in K$，即 $\exp(\lambda x) \in Z_G(A)$ 对于所有 $\lambda \in K$。

$N_G(A) \neq A$（代数、章I, § 6，推论 1 至命题 8）。通过no. 4的命题11，我们只需证明$N_G(A)$是连通的。让$g \in N_G(A)$。存在$x \in L(G)$使得$g = \exp x$(命题14)。令$E$为$u \in \mathscr{L}(L(G))$的$\mathscr{L}(L(G))$由……组成之向量子空间，使得$u(L(A)) \subset L(A)$。然后$\mathrm{Ad}\, g^n \in E$，因此对于所有$n \in \mathbf{Z}$，$\exp(\mathrm{ad}\, nx) \in E$。因此，对于所有$\lambda \in K$，$\exp(\mathrm{ad}\, \lambda x) \in E$，即对于所有$\lambda \in K$，$\exp(\lambda x) \in N_G(A)$。

$a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ 变为 $g$。

(i) $\phi$ 是 $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ 的双射到$g$； (ii) $\phi$和$\phi^{-1}$是多项式映射； (iii) $(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p)^2$ 到$a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ 的映射 $(x, y) \mapsto \phi^{-1}(\phi(x) \cdot \phi(y)^{-1})$ 是多项式。

命题对于$\dim g = 0$来说是显而易见的。假设已经为维数$< \dim g$建立了$\dim g > 0$和命题。可以假设$g_{n-1} \neq \{0\}$和$g_{n-1}$是$g$的非零中心理想。存在指标$j$使得$h = g_{n-1} \cap a_j \neq \{0\}$。令$g' = g/h$、$\theta$为$g$到$g'$、$g'_i = \theta(g_i)$和$a'_i = \theta(a_i)$的规范态射。那么$(g'_0, g'_1, \ldots, g'_n)$是$g'$理想的递减序列使得$g'_0 = g', g'_n = \{0\}$，

对于$0 \leq i < n$，每个$g'_i$是其交的直和和$a'_j$。设$\phi'$为映射

将$a'_1 \times a'_2 \times \cdots \times a'_p$转化为$g'$。根据归纳假设，$\phi'$是双射，$\phi', {\phi'}^{-1}$是多项式映射。

让$x \in g$。我们写

(1)

Then (2) Let $h_1$ be a vector subspace supplementary to $h$ in $g$, the sum of the $a_k$ with $k \neq j$ and a supplement of $h$ in $a_j$. 存在 $g'$ 的双射 $\eta$ 到 $h_1$ 使得 $\theta \circ \eta = \mathrm{Id}_{g'}$。 对于$x \in g$，我们写 (3) (4)

由（2）和（3），$\theta(\zeta(x)) = \theta(x)$，因此$y(x) \in \mathfrak{h}$。最后我们写

由于$y(x)$是$\mathfrak{g}$的中心， 因此$\phi \circ \psi = \mathrm{Id}_g$。现在设$(x_1, x_2, \ldots, x_p) \in a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$并写出$x = \phi(x_1, x_2, \ldots, x_p) = x_1 \mathbin{\mathbf{H}} x_2 \mathbin{\mathbf{H}} \cdots \mathbin{\mathbf{H}} x_p$。然后 因此 $x_i'(x) = \theta(x_i)$ 代表 $1 \leq i \leq p$ 因此 然后由(5) 因此$\psi \circ \phi = \mathrm{Id}_{a_1 \times \ldots \times a_p}$。这就证明了(i)。由于 Hausdorff 律是多项式，$\phi$ 也是多项式。由归纳假设，${\phi'}^{-1}$为多项式；由公式 (1)、函数 $x_j'$ 是多项式，因此 $\zeta$ 是多项式 (公式 (3))、$y$ 是多项式 (公式 (4)) 和 $\psi$ 是多项式 (公式) (5))。这就证明了(ii)。 断言 (iii) 由 (i) 和 (ii) 得出，并且 Hausdorff 律是多项式。

幂零李群的例。令$G$为$\mathbf{GL}(n, K)$的下严格三角形子群。它是 $\mathbf{GL}(n, K)$ 的谎言子群，$L(G) \subset \mathfrak{gl}(n, K)$ 是具有零对角线（§ 3, no. 10，命题 36）的下三角矩阵的李代数。到章 II, § 4, no. 6，*注*，$G$ 幂零。假设此后$K = \mathbf{R}$或$\mathbf{C}$。由于$G$与$K^{n(n-1)/2}$同胚，$G$是单连通的。 $L(G)$ 到 $G$ 的指数映射只是映射

（§ 6, no. 4，*例*）。到命题 13 时，流形 $L(G)$ 到流形 $G$ 的指数为同构。 § 6, no. 9 中的命题 17 给出逆双射 $\log$。我们给$K^n$范数。根据*光谱理论*，章I, § 4, no. 9，对于$g \in G$和$\|g - 1\| < 1$，

那就是

但 (6) 的两侧是 $g$ 对 $g \in G$ 的解析函数，因此对于所有 $g \in G$ 都是相等的。