习题 28, § 9

(a) 令 k 为特征 0 的交换域，L k 上的 n 维李代数，$L_1$ $(n-1)$ 维子代数包含 L 和$a_0$ 元素没有非零理想L不是属于到$L_1$。对于$i = 2, 3, \ldots$，我们将定义$L_i$归纳为$x \in L_{i-1}$的集合，使得$[x, a_0] \in L_{i-1}$。我们将$i \leq 0$写为$L_i = L$。证明$[L_i, L_j] \subset L_{i+j}$（通过$i + j$上的归纳），然后对于$0 \leq i \leq n$，$L_i$是余维i的L的子代数（通过i上的归纳）。

(b) 对于$0 < i < n$，选择在$L_i$元素$a_i$不是属于到$L_{i+1}$使得$[a_0, a_i] \equiv ia_{i-1} \pmod{L_i}$。显示，按归纳对有序对 $(i, j)$ 按字典顺序排序，对于 $0 \leq i < j < n, i + j - 1 < n$ 和

(c) 推断 L 是维数 1 或维数 2 并且不可交换，或者与 $\mathfrak{sl}(2, k)$ 同构的。

(d) 令 A 为有限维实数李代数。如果存在子代数 $B_1 \supset B$ 使得 A 的子代数 B 称为可扩展

† 有关李群的单射线性表示、cf. G. Hochschild、*结构的李群*、Holden-Day、1965 年的更多详细信息，特别是章 XVIII。

昏暗$B_1 = \dim B + 1$。让$R'(A)$表示$A$的所有不可扩展的子代数中的交。让$R(A)$表示$A$的最大的理想，将合成列作为$A$模，其商均为维数1。

证明$R'(A)$是$A$的特征理想。 （观察$R'(A)$在$\mathrm{Aut}(A)$下是稳定的。）

(e) 证明$R'(A) \supset R(A)$ 和$R'(A/R(A)) = R'(A)/R(A)$。

(f) 证明，如果$B$ 是$A$ 的子代数，则$R'(B) \supset R'(A) \cap B$。

(g) 如果$A$可解，则$R'(A) = R(A)$。 （可以通过（e）假设$R(A) = \{0\}$。假设$R'(A) \neq \{0\}$。通过（d），存在$R'(A)$中包含的$A$的最小非零理想$I$。使用（f）和章I, § 5，推论1到定理 1、证明$\dim I = 1$、从而矛盾。）

(h) 设$P$为$R'(A)$、$B$半单子代数和$A$和$C = P + B$的根式，通过(d)得到$A$的子代数。使用 (f)，表明 $\mathrm{ad}_P B$ 可以相对于 $P$ 的合适基表达为三角形形式。 结论那个$[P, B] = \{0\}$。

(k) $R(A)$ 是$R'(A)$ 的根号。 （使用 (e)、(f)、(g)、(h) 和 $A$ 的 Levi 分解。）令 $R'(A) = R(A) \oplus T$ 为 $R'(A)$ 的 Levi 分解。由（h），$R'(A) = R(A) \times T$。然后$R(T) = \{0\}$。 $T$、结论、$T = \{0\}$的应用(c)至单因子。因此证明$R(A) = R'(A)$。

(l) 设$G$是与李代数$A$相连的实李群。设$\mathscr{S}(G)$为子群$N$或$G$的集合，则存在子群的递减序列$(N_m, N_{m-1}, \ldots, N_0)$，具有以下性质：$N_m = N$，$N_0 = \{e\}$，每个$N_i$都是正常连通谎言子群共 $G$ 和 $\dim N_i/N_{i-1} = 1$ 对于所有 $i > 0$。证明$G$与李代数$R(A)$的积分子群$R(G)$是$\mathscr{S}(G)$的最大的元素。 （通过归纳对 $\dim R(A)$ 进行论证。令 $I$ 为 $A$ 和 $N$ 相应的子群对 $G$ 的积分。通过 $\overline{N}$ 求商。如果$N$不闭，使用§ 6的习题21(a)。）

(m) 如果存在满足 $\dim H_1 = \dim H + 1$ 的谎言子群 $H_1 \supset H$，则$G$ 的谎言子群 $H$ 称为可扩展。让$R'(G)$表示$G$的所有不可扩展的连通谎言子群的交。

令$B$为$A$的不可扩展子代数。证明 $G$ 的相应的积分子群是闭集。 (应用命题 5.) 推出

从而$R'(G) \subset R(G)$。

(n) 证明 $R(G) = R'(G)$。 （约化它到$R'(G) = \{e\}$的情况。然后使用§ 6的习题 22。）†