Exercice 28, § 9

a) Soient k un corps commutatif de caractéristique 0, L une algèbre de Lie de dimension n sur k, $L_1$ une sous-algèbre de dimension $n - 1$ ne contenant aucun idéal non nul de L, et $a_0$ un élément de L n’appartenant pas à $L_1$. Pour $i = 2, 3, \ldots$, on définit par récurrence les $L_i$ en convenant que $L_i$ est l’ensemble des $x \in L_{i-1}$ tels que $[x, a_0] \in L_{i-1}$. On pose $L_i = L$ pour $i \leq 0$. Montrer que $[L_i, L_j] \subset L_{i+j}$ (par récurrence sur $i + j$), puis que, pour $0 \leq i \leq n$, $L_i$ est une sous-algèbre de L de codimension i (par récurrence sur i). b) Pour $0 < i < n$, choisissons dans $L_i$ un élément $a_i$ n’appartenant pas à $L_{i+1}$, de telle sorte que $[a_0, a_i] \equiv ia_{i-1}$ (mod. $L_i$). Montrer, par récurrence sur les couples $(i, j)$ ordonnés lexicographiquement, que, pour $0 \leq i < j < n$, on a $i + j - 1 < n$ et

¹ Pour plus de détails, cf. C. CHEVALLEY, Topological structure of solvable groups, Ann. of Math., t. XLII (1941), p. 668–675. ² Pour plus de détails concernant les représentations linéaires injectives des groupes de Lie, cf. G. HOCHSCHILD, The structure of Lie groups, Holden-Day, 1965, et en particulier le chap. XVIII.

c) Déduire que L est ou bien de dimension 1, ou bien de dimension 2 non commutative, ou bien isomorphe à $sl(2, k)$.

d) Soit A une algèbre de Lie réelle de dimension finie. Une sous-algèbre B de A est dite prolongeable s’il existe une sous-algèbre $B_1 \supset B$ telle que $\dim B_1 = \dim B + 1$. On note $R'(A)$ l’intersection de toutes les sous-algèbres non prolongeables de A. On note $R(A)$ le plus grand idéal de A possédant une suite de composition comme A-module dont tous les quotients sont de dimension 1.

Montrer que $R'(A)$ est un idéal caractéristique de A. (Observer que $R'(A)$ est stable par $\mathrm{Aut}(A)$.)

e) Montrer que $R'(A) \supset R(A)$ et que $R'(A/R(A)) = R'(A)/R(A)$.

f) Montrer que, si B est une sous-algèbre de A, on a $R'(B) \supset R'(A) \cap B$.

g) Si A est résoluble, $R'(A) = R(A)$. (On peut supposer $R(A) = \{0\}$ grâce à e). Supposons $R'(A) \neq \{0\}$. D’après d), il existe un idéal minimal non nul I de A contenu dans $R'(A)$. En utilisant f ), et le chap. I, § 5, cor. 1 du th. 1, montrer que $\dim I = 1$, d’où contradiction.)

h) Soient P le radical de $R'(A)$, B une sous-algèbre semi-simple de A, $C = P + B$ qui est une sous-algèbre de A d’après d). En utilisant f ), montrer que $\mathrm{ad}_P B$ peut se mettre sous forme triangulaire par rapport à une base convenable de P. Conclure que $[P, B] = \{0\}$.

k) $R(A)$ est le radical de $R'(A)$. (Utiliser e), f ), g), h) et une décomposition de Levi de A.) Soit $R'(A) = R(A) \oplus T$ une décomposition de Levi de $R'(A)$. D’après h), $R'(A) = R(A) \times T$. On a $R(T) = \{0\}$. Appliquant c) aux facteurs simples de T, conclure que $T = \{0\}$. On a donc prouvé que $R(A) = R'(A)$.

l) Soit G un groupe de Lie réel connexe d’algèbre de Lie A. Soit $\mathscr{S}(G)$ l’ensemble des sous-groupes N de G tels qu’il existe une suite décroissante $(N_m, N_{m-1}, \ldots, N_0)$ de sous-groupes possédant les propriétés suivantes: $N_m = N, N_0 = \{e\}$, chaque $N_i$ est un sous-groupe de Lie connexe distingué de G, et $\dim N_i/N_{i-1} = 1$ pour tout $i > 0$. Montrer que le sous-groupe intégral $R(G)$ de G d’algèbre de Lie $R(A)$ est le plus grand élément de $\mathscr{S}(G)$. (Raisonner par récurrence sur $\dim R(A)$. Soient I un idéal de dimension 1 de A, N le sous-groupe intégral correspondant de G. Passer au quotient par $\overline{N}$. Si N n’est pas fermé, on utilisera l’exerc. 21 a) du § 6.)

m) Un sous-groupe de Lie H de G est dit prolongeable s’il existe un sous-groupe de Lie $H_1 \supset H$ tel que $\dim H_1 = \dim H + 1$. On note $R'(G)$ l’intersection de tous les sous-groupes de Lie connexes non prolongeables de G.

Soit B une sous-algèbre non prolongeable de A. Montrer que le sous-groupe intégral correspondant de G est fermé. (Utiliser la prop. 5.) En déduire que $L(R'(G)) \subset R(A)$, d’où $R'(G) \subset R(G)$.

n) Montrer que $R(G) = R'(G)$. (Se ramener au cas où $R'(G) = \{e\}$. Utiliser alors l’exerc. 22 du § 6.)¹