Bài tập 28, § 9

(a) Cho k là một trường giao hoán có đặc số 0, L là một đại số Lie n-chiều trên k, $L_1$ là một đại số con $(n-1)$-chiều không chứa iđêan khác không nào của L và $a_0$ là một phần tử của L không thuộc $L_1$. Với $i = 2, 3, \ldots$, ta định nghĩa quy nạp $L_i$ là tập hợp các $x \in L_{i-1}$ sao cho $[x, a_0] \in L_{i-1}$. Ta viết $L_i = L$ với $i \leq 0$. Chứng minh rằng $[L_i, L_j] \subset L_{i+j}$ (bằng quy nạp theo $i + j$) và sau đó rằng, với $0 \leq i \leq n$, $L_i$ là một đại số con của L có đối chiều i (bằng quy nạp theo i).

(b) Với $0 < i < n$, chọn trong $L_i$ một phần tử $a_i$ không thuộc $L_{i+1}$ sao cho $[a_0, a_i] \equiv ia_{i-1} \pmod{L_i}$. Chứng minh, bằng quy nạp theo các cặp có thứ tự $(i, j)$ được sắp theo thứ tự từ điển, rằng, với $0 \leq i < j < n, i + j - 1 < n$ và

(c) Suy ra rằng L hoặc có chiều 1, hoặc có chiều 2 và không giao hoán, hoặc đẳng cấu với $\mathfrak{sl}(2, k)$.

(d) Cho A là một đại số Lie thực hữu hạn chiều. Một đại số con B của A được gọi là khả mở rộng nếu tồn tại một đại số con $B_1 \supset B$ sao cho

† Để biết thêm chi tiết về các biểu diễn tuyến tính đơn ánh của các nhóm Lie, xin xem G. Hochschild, The structure of Lie groups, Holden-Day, 1965, và đặc biệt là Chương XVIII.

dim $B_1 = \dim B + 1$. Ký hiệu $R'(A)$ là giao của tất cả các đại số con không khả mở rộng của $A$. Ký hiệu $R(A)$ là iđêan lớn nhất của $A$ có một chuỗi hợp thành như một $A$-môđun mà mọi thương đều có chiều bằng 1.

Chứng minh rằng $R'(A)$ là một iđêan đặc số của $A$. (Hãy nhận xét rằng $R'(A)$ ổn định dưới $\mathrm{Aut}(A)$.)

(e) Chứng minh rằng $R'(A) \supset R(A)$ và rằng $R'(A/R(A)) = R'(A)/R(A)$.

(f) Chứng minh rằng, nếu $B$ là một đại số con của $A$, thì $R'(B) \supset R'(A) \cap B$.

(g) Nếu $A$ giải được, thì $R'(A) = R(A)$. (Có thể giả thiết rằng $R(A) = \{0\}$, theo (e). Giả sử rằng $R'(A) \neq \{0\}$. Theo (d), tồn tại một iđêan cực tiểu khác không $I$ của $A$ được chứa trong $R'(A)$. Dùng (f) và Chương I, § 5, Hệ quả 1 của Định lý 1, chứng minh rằng $\dim I = 1$, do đó dẫn đến mâu thuẫn.)

(h) Cho $P$ là căn của $R'(A)$, $B$ là một đại số con nửa đơn của $A$ và $C = P + B$ là một đại số con của $A$ theo (d). Dùng (f), chứng minh rằng $\mathrm{ad}_P B$ có thể được biểu diễn dưới dạng tam giác đối với một cơ sở thích hợp của $P$. Kết luận rằng $[P, B] = \{0\}$.

(k) $R(A)$ là căn của $R'(A)$. (Sử dụng (e), (f), (g), (h) và một phân tích Levi của $A$.) Cho $R'(A) = R(A) \oplus T$ là một phân tích Levi của $R'(A)$. Theo (h), $R'(A) = R(A) \times T$. Khi đó $R(T) = \{0\}$. Áp dụng (c) cho các nhân tử đơn của $T$, suy ra rằng $T = \{0\}$. Do đó đã chứng minh được rằng $R(A) = R'(A)$.

(l) Cho $G$ là một nhóm Lie thực liên thông với đại số Lie $A$. Cho $\mathscr{S}(G)$ là tập hợp các nhóm con $N$ của $G$ sao cho tồn tại một dãy giảm $(N_m, N_{m-1}, \ldots, N_0)$ các nhóm con có các tính chất sau: $N_m = N$, $N_0 = \{e\}$, mỗi $N_i$ là một nhóm con Lie liên thông chuẩn tắc của $G$ và $\dim N_i/N_{i-1} = 1$ với mọi $i > 0$. Chứng minh rằng nhóm con nguyên $R(G)$ của $G$ có đại số Lie $R(A)$ là phần tử lớn nhất của $\mathscr{S}(G)$. (Lập luận bằng quy nạp theo $\dim R(A)$. Cho $I$ là một iđêan 1 chiều của $A$ và $N$ là nhóm con nguyên tương ứng của $G$. Chuyển sang thương theo $\overline{N}$. Nếu $N$ không đóng, sử dụng Bài tập 21 (a) của § 6.)

(m) Một nhóm con Lie $H$ của $G$ được gọi là mở rộng được nếu tồn tại một nhóm con Lie $H_1 \supset H$ sao cho $\dim H_1 = \dim H + 1$. Ký hiệu $R'(G)$ là giao của tất cả các nhóm con Lie liên thông không mở rộng được của $G$.

Cho $B$ là một đại số con không mở rộng được của $A$. Chứng minh rằng nhóm con nguyên tương ứng của $G$ là đóng. (Sử dụng Mệnh đề 5.) Suy ra rằng

do đó $R'(G) \subset R(G)$.

(n) Chứng minh rằng $R(G) = R'(G)$. (Rút gọn về trường hợp $R'(G) = \{e\}$. Sau đó sử dụng Bài tập 22 của § 6.)†