习题 35, § 9

令 $G$ 为 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$ 的紧致子群。 (a) 令$A, B$为$\mathbf{R}^n$的不相交的紧凑$G$不变子集。 $\mathbf{R}^n$上存在$G$不变多项式函数$u$，使得$A$上有$u = 1$，$B$上有$u = 0$。 （$\mathbf{R}^n$上存在连续实值函数$v$，使得$A$上有$v = 1$，$B$上有$v = 0$。根据Stone-Weierstrass定理，存在多项式函数$w$在 $\mathbf{R}^n$ 上，使得 $|v - w| \leq \frac{1}{3}$ 在 $A \cup B$ 上，通过关于 $G$ 的归一化哈尔测度的积分过程导出 $u$。） (b)设$x \in \mathbf{R}^n$。那么 $Gx$ 就是 $G$ 不变多项式的有限数的 $\mathbf{R}^n$ 中的零的集合。 （使用 (a) 和推论 2 至定理 1、no. 8。）