Exercice 35, § 9

Soit G un sous-groupe compact de GL(n, R). a) Soient A, B des parties G-invariantes compactes disjointes de R^n. Il existe une fonction polynomiale u, G-invariante dans R^n, telle que u = 1 dans A et u = 0 dans B. (Il existe une fonction continue réelle v dans R^n telle que v = 1 dans A, v = 0 dans B. D’après le théorème de Stone–Weierstrass, il existe une fonction polynomiale w dans R^n telle que |v − w| ≤ 1/3 dans A ∪ B. En déduire u par un procédé d’intégration par rapport à la mesure de Haar normalisée de G.) b) Soit x ∈ R^n. Alors Gx est l’ensemble des zéros dans R^n d’un nombre fini de polynômes G-invariants. (Utiliser a) et le cor. 2 du th. 1, n° 8.)