Bài tập 35, § 9

Cho $G$ là một nhóm con compact của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$. (a) Cho $A, B$ là các tập con compact bất biến dưới $G$ rời nhau của $\mathbf{R}^n$. Tồn tại một hàm đa thức bất biến dưới $G$ $u$ trên $\mathbf{R}^n$, sao cho $u = 1$ trên $A$ và $u = 0$ trên $B$. (Tồn tại một hàm liên tục nhận giá trị thực $v$ trên $\mathbf{R}^n$ sao cho $v = 1$ trên $A$ và $v = 0$ trên $B$. Theo Định lý Stone-Weierstrass, tồn tại một hàm đa thức $w$ trên $\mathbf{R}^n$ sao cho $|v - w| \leq \frac{1}{3}$ trên $A \cup B$. Suy ra $u$ bằng một quá trình tích phân đối với độ đo Haar chuẩn hóa của $G$.) (b) Cho $x \in \mathbf{R}^n$. Khi đó $Gx$ là tập các điểm không trong $\mathbf{R}^n$ của một số hữu hạn đa thức bất biến dưới $G$. (Sử dụng (a) và Hệ quả 2 của Định lý 1, no. 8.)