Bourbaki

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§ 5。 李群中的正式计算

令 f,gf, g 为两个形式的幂级数，且 KK 中的系数处于相同的不定式中，令 fif_i（分别为 gig_i）为次数 ii 的 ff（分别为 gg）的齐次分量。我们将写

f≡gmod  deg⁡p f \equiv g \mod \deg p
如果 fi=gif_i = g_i 为 i<pi < p。

在本§中，G表示有限维nn的李群胚芽； 基域 KK 假定为特征零。我们通过图表一劳永逸地认同，G中ee的开邻域和KnK^n中0的开邻域U，因此ee被识别为0。对于U中的x,yx, y和n∈Zn \in \mathbf{Z}，x.yx.y表示G 中xx和yy的乘积和x[m]x^{[m]}xx的第m个幂（当它们被定义时）。 x∈Ux \in U的坐标用x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n表示。

1. 系数 cαβγc_{\alpha \beta \gamma}

令Ω\Omega为(x,y)∈U×U(x, y) \in U \times U的集合，使得x.yx.y被定义且属于为U。则Ω\Omega在U×UU \times U中开，且Ω\Omega的映射(x,y)↦x.y(x, y) \mapsto x.y在U中是解析的。因此，z=x.yz = x.y的坐标z1,…,znz_1, \ldots, z_n承认展开作为关于x1,…,xn,y1,…,ynx_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n的幂原点的积分级数。因此，存在定义明确的常数 cα1,…,αn,β1,…,βn,γ1,…,γn∈Kc_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n, \gamma_1, \ldots, \gamma_n} \in K，使得

z1γ1⋯znγn=∑α1,…,βn∈Ncα1,…,αn,β1,…,βn,γ1,…,γnx1α1⋯xnαny1β1⋯ynβn z_1^{\gamma_1} \cdots z_n^{\gamma_n} = \sum_{\alpha_1, \ldots, \beta_n \in \mathbf{N}} c_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n, \gamma_1, \ldots, \gamma_n} x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} y_1^{\beta_1} \cdots y_n^{\beta_n}
对于N\mathbf{N}中的γ1,…,γn\gamma_1, \ldots, \gamma_n。采用可微分和解析流形，R的约定，我们将更简单地写出这些公式：
(x.y)γ=∑α,β∈Nncα,β,γxαyβ(γ∈Nn). (x.y)^{\gamma} = \sum_{\alpha, \beta \in \mathbf{N}^n} c_{\alpha, \beta, \gamma} x^{\alpha} y^{\beta} \quad (\gamma \in \mathbf{N}^n).
从x.0=0.x=xx.0 = 0.x = x到x∈Ux \in U，
cα,0,γ=c0,α,γ=δαγ c_{\alpha, 0, \gamma} = c_{0, \alpha, \gamma} = \delta_{\alpha \gamma}
其中 δαγ\delta_{\alpha \gamma} 是克罗内克指标。特别是，今后将 k=1,…,nk = 1, \ldots, n 写为 kk 而不是 εk\varepsilon_k，
(x.y)k=xk+yk+∑∣α∣≥1,∣β∣≥1cα,β,kxαyβ. (x.y)_k = x_k + y_k + \sum_{|\alpha| \geq 1, |\beta| \geq 1} c_{\alpha, \beta, k} x^{\alpha} y^{\beta}.
写cαβ=(cαβ1,cαβ2,…,cαβn)∈Knc_{\alpha \beta} = (c_{\alpha \beta 1}, c_{\alpha \beta 2}, \ldots, c_{\alpha \beta n}) \in K^n，则得出
x.y=x+y+∑∣α∣≥1,∣β∣≥1cαβxαyβ. x.y = x + y + \sum_{|\alpha| \geq 1, |\beta| \geq 1} c_{\alpha \beta} x^{\alpha} y^{\beta}.

在(5)的右侧，我们考虑次数2的齐次分量：

B(x,y)=∑i,j=1ncijxiyj B(x, y) = \sum_{i,j=1}^n c_{ij} x_i y_j

因此(x,y)↦B(x,y)(x, y) \mapsto B(x, y)是Kn×KnK^n \times K^n到KnK^n的双线性映射。然后

(6)

x.y≡x+y+B(x,y)mod  deg⁡3. x.y \equiv x + y + B(x, y) \mod \deg 3.

公式 (4) 另一方面意味着

(7)

cα,β,γ=0if ∣α∣+∣β∣<∣γ∣ c_{\alpha, \beta, \gamma} = 0 \quad \text{if } |\alpha| + |\beta| < |\gamma|

and that the terms of total degree ∣γ∣|\gamma| in the expansion of zγz^\gamma are also those of (x1+y1)γ1(x2+y2)γ2…(xn+yn)γn=∑α+β=γ((α,β))xαyβ(x_1 + y_1)^{\gamma_1}(x_2 + y_2)^{\gamma_2} \ldots (x_n + y_n)^{\gamma_n} = \sum_{\alpha + \beta = \gamma} ((\alpha, \beta)) x^\alpha y^\beta (cf. Differentiable and Analytic Manifolds, R, Notation and conventions). 因此：

(8)

cα,β,γ=0if ∣α∣+∣β∣=∣γ∣but α+β≠γ c_{\alpha, \beta, \gamma} = 0 \quad \text{if } |\alpha| + |\beta| = |\gamma| \quad \text{but } \alpha + \beta \neq \gamma
(9)
cα,β,α+β=((α,β)). c_{\alpha, \beta, \alpha + \beta} = ((\alpha, \beta)).

乘积的结合性意味着关系

∑ξcαξnxα(∑β,γcβγξyβzγ)=∑ξ,γcξγn(∑α,βcαβξxαyβ)zγ \sum_{\xi} c_{\alpha \xi n} x^\alpha \left( \sum_{\beta, \gamma} c_{\beta \gamma \xi} y^\beta z^\gamma \right) = \sum_{\xi, \gamma} c_{\xi \gamma n} \left( \sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha \beta \xi} x^\alpha y^\beta \right) z^\gamma
对于所有x,y,zx, y, z足够接近0，从而

(10)

∑ξcαξncβγξ=∑ξcξγncαβξ(α,β,γ,η in Nn). \sum_{\xi} c_{\alpha \xi n} c_{\beta \gamma \xi} = \sum_{\xi} c_{\xi \gamma n} c_{\alpha \beta \xi} \quad (\alpha, \beta, \gamma, \eta \text{ in } \mathbf{N}^n).

群胚芽G承认交换开子群胚芽当且仅当cαβγ=cβαγc_{\alpha \beta \gamma} = c_{\beta \alpha \gamma}对于Nn\mathbf{N}^n中的所有α,β,γ\alpha, \beta, \gamma。

2. 李代数中的支架

对于α∈Nn\alpha \in \mathbf{N}^n，令eαe_\alpha为原点处的点分布1α!∂α∂xα\frac{1}{\alpha!} \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha}。特别是，

ek=eek=∂∂xk. e_k = e_{e_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}.
向量空间U(G)U(G)的eαe_\alpha形式基。如果 ff 是 G 中 0 的开邻域上的解析函数，并且 f(x)=∑λαxαf(x) = \sum \lambda_\alpha x^\alpha 是它的展开作为关于原点的积分级数，则
⟨eα,f⟩=λα. \langle e_\alpha, f \rangle = \lambda_\alpha.
特别是，
⟨eα,xγ⟩=δαγ. \langle e_\alpha, x^\gamma \rangle = \delta_{\alpha \gamma}.

因此

⟨eα∗eβ,xγ⟩=⟨eα⊗eβ,(x.y)γ⟩=⟨eα⊗eβ,∑α′,β′cα′β′γxα′yβ′⟩=∑α′,β′cα′β′γ⟨eα,xα′⟩⟨eβ,yβ′⟩=cαβγ \langle e_\alpha * e_\beta, x^\gamma \rangle = \langle e_\alpha \otimes e_\beta, (x.y)^\gamma \rangle \\ = \langle e_\alpha \otimes e_\beta, \sum_{\alpha', \beta'} c_{\alpha'\beta'\gamma} x^{\alpha'} y^{\beta'} \rangle \\ = \sum_{\alpha', \beta'} c_{\alpha'\beta'\gamma} \langle e_\alpha, x^{\alpha'} \rangle \langle e_\beta, y^{\beta'} \rangle = c_{\alpha\beta\gamma}
因此
eα∗eβ=∑γcαβγeγ. e_\alpha * e_\beta = \sum_\gamma c_{\alpha\beta\gamma} e_\gamma.
（公式 (10) 然后在 U(G)U(G) 上表达结合性。） 特别是，因为L(G)L(G)在支架下是稳定的。
[ei,ej]=∑k(cijk−cjik)ek. [e_i, e_j] = \sum_k (c_{ijk} - c_{jik}) e_k.
因此，L(G)L(G)相对于基(e1,…,en)(e_1, \ldots, e_n)的结构常数为cijk−cjikc_{ijk} - c_{jik}。在其他字中，将L(G)L(G)与KnK^n规范地识别，我们得到：
[x,y]=B(x,y)−B(y,x). [x, y] = B(x, y) - B(y, x).

命题 1 0AE1

（一）

x[−1]≡−x+B(x,x)mod  deg⁡3 x^{[-1]} \equiv -x + B(x, x) \mod \deg 3
（二）
x.y.x[−1]≡y+[x,y]mod  deg⁡3 x.y.x^{[-1]} \equiv y + [x, y] \mod \deg 3
（三）
y[−1].x.y≡x+[x,y]mod  deg⁡3 y^{[-1]}.x.y \equiv x + [x, y] \mod \deg 3
（四）
x[−1].y[−1].x.y≡[x,y]mod  deg⁡3 x^{[-1]}.y^{[-1]}.x.y \equiv [x, y] \mod \deg 3
（五）
x.y.x[−1].y[−1]≡[x,y]mod  deg⁡3. x.y.x^{[-1]}.y^{[-1]} \equiv [x, y] \mod \deg 3.
（在（i）中，x[−1]x^{[-1]}当然代表函数x↦x[−1]x \mapsto x^{[-1]}的展开作为关于原点的级数积分；其他公式可以类似地解释。） 令 g1g_1 和 g2g_2 为次数 1 和 2 的 x[−1]x^{[-1]} 的齐次分量。那么
0=x.x[−1]≡x+g1(x)+B(x,g1(x))mod  deg⁡2(by (6))≡x+g1(x)mod  deg⁡2 0 = x.x^{[-1]} \\ \equiv x + g_1(x) + B(x, g_1(x)) \mod \deg 2 \quad \text{(by (6))} \\ \equiv x + g_1(x) \mod \deg 2
因此g1(x)=−xg_1(x) = -x。然后
0=x.x[−1]≡x+(−x+g2(x))+B(x,−x+g2(x))mod  deg⁡3≡g2(x)−B(x,x)mod  deg⁡3 0 = x.x^{[-1]} \\ \equiv x + (-x + g_2(x)) + B(x, -x + g_2(x)) \mod \deg 3 \\ \equiv g_2(x) - B(x, x) \mod \deg 3

被以下引用 2

被以下引用 命题 6, III § 7, 命题 3, III § 9

因此g2(x)=B(x,x)g_2(x) = B(x, x)。这就证明了(i)。然后，使用 (i)，

x.y.x[−1]≡(x+y+B(x,y)).(−x+B(x,x))mod deg 3 x.y.x^{[-1]} \equiv (x + y + B(x, y)).(-x + B(x, x)) \quad \text{mod deg 3}
≡x+y+B(x,y)+(−x+B(x,x))+B(x+y,−x)mod deg 3 \equiv x + y + B(x, y) + (-x + B(x, x)) + B(x + y, -x) \quad \text{mod deg 3}
≡y+B(x,y)−B(y,x)mod deg 3 \equiv y + B(x, y) - B(y, x) \quad \text{mod deg 3}
≡y+[x,y]mod deg 3 (by (13)) \equiv y + [x, y] \quad \text{mod deg 3 (by (13))}
从而（二）。 (iii) 的证明是类似的。结合 (i) 和 (iii)，我们得到
x[−1],y[−1].x.y≡(−x+B(x,x)).(x+[x,y])mod deg 3 x^{[-1]},y^{[-1]}.x.y \equiv (-x + B(x, x)).(x + [x, y]) \quad \text{mod deg 3}
≡−x+B(x,x)+x+[x,y]+B(−x,x)mod deg 3 \equiv -x + B(x, x) + x + [x, y] + B(-x, x) \quad \text{mod deg 3}
≡[x,y]mod deg 3 \equiv [x, y] \quad \text{mod deg 3}
从而（四）。 (v)的证明是类似的。

3. 幂

考虑 G 的 j 点：

x(1)=(x(1)1,x(1)2,…,x(1)n) x(1) = (x(1)_1, x(1)_2, \ldots, x(1)_n)
x(2)=(x(2)1,x(2)2,…,x(2)n) x(2) = (x(2)_1, x(2)_2, \ldots, x(2)_n)
………………… \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
x(j)=(x(j)1,x(j)2,…,x(j)n). x(j) = (x(j)_1, x(j)_2, \ldots, x(j)_n).
映射 (x(1),x(2),…,x(j))↦x(1).x(2)…x(j)(x(1), x(2), \ldots, x(j)) \mapsto x(1).x(2)\ldots x(j) 承认展开作为关于原点的级数积分：

x(1).x(2)…x(j)=∑α(1),α(2),…,α(j)∈Nnaα(1),…,α(j)x(1)α(1)…x(j)α(j) x(1).x(2)\ldots x(j) = \sum_{\alpha(1), \alpha(2), \ldots, \alpha(j) \in \mathbf{N}^n} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(j)} x(1)^{\alpha(1)} \ldots x(j)^{\alpha(j)}

其中aα(1),…,α(j)a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(j)}是Kn\mathbf{K}^n的元素。我们写，对于 j=0,1,2,…j = 0, 1, 2, \ldots，

ψj(x)=∑α(1)≠0,…,α(j)≠0aα(1),…,α(j)xα(1)+…+α(j) \psi_j(x) = \sum_{\alpha(1) \neq 0, \ldots, \alpha(j) \neq 0} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(j)} x^{\alpha(1) + \ldots + \alpha(j)}

其中右侧是变量 x∈Knx \in \mathbf{K}^n 的收敛积分级数。这个级数是通过抑制（14）项（其中变量x(1),…,x(j)x(1), \ldots, x(j)之一未显式出现）然后写入x(1)=x(2)=⋯=x(j)=xx(1) = x(2) = \cdots = x(j) = x而获得的。

如果 t∈Kt \in \mathbf{K}，G 的所有第 t 个幂映射都具有相同的展开作为关于原点的积分级数，因为它们中的任何两个重合在 0 的邻域上。我们将这个展开表示为积分级数 x[t]x^{[t]}。

命题 2 0AE2

（一）ψj≡0mod  deg⁡j\psi_j \equiv 0 \mod \deg j。 (ii) 如果t∈Kt \in \mathbf{K}，则

x[t]=∑i=18(ti)ψi(x) x^{[t]} = \sum_{i=1}^8 \binom{t}{i} \psi_i(x)
*由于 (i)，右侧的正式幂级数才有意义。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 7, III § 4

被以下引用 注, 命题 9, III § 7

（我们写

(ti)=t(t−1)…(t−i+1)i! \binom{t}{i} = \frac{t(t-1)\ldots(t-i+1)}{i!}

对于所有t∈Kt \in \mathbf{K}。）

断言 (i) 从ψj\psi_j的定义是明显的。

我们证明 (ii) tt 整数 ≥0\geq 0。由(14)，

x[t]=∑α(1),…,α(t)∈Nnaα(1),…,α(t)xα(1)+…+α(t). x^{[t]} = \sum_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t) \in \mathbf{N}^n} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t)} x^{\alpha(1) + \ldots + \alpha(t)}.

对于α=(α(1),…,α(t))∈(Nn)t\alpha = (\alpha(1), \ldots, \alpha(t)) \in (\mathbf{N}^n)^t，令σ(α)\sigma(\alpha)表示j∈{1,2,…,t}j \in \{1, 2, \ldots, t\}的集合，使得α(j)≠0\alpha(j) \neq 0。如果，在和 (17) 中，我们群一起项，其中 σ(α)\sigma(\alpha) 是相同的，那么

x[t]=∑σ⊂{1,t}ht,σ(x) x^{[t]} = \sum_{\sigma \subset \{1, t\}} h_{t, \sigma}(x)

哪里

ht,σ(x)=∑σ(α)=σaα(1),…,α(t)xα(1)+…+α(t). h_{t, \sigma}(x) = \sum_{\sigma(\alpha) = \sigma} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t)} x^{\alpha(1) + \ldots + \alpha(t)}.

让 σ={j1,j2,…,jq}\sigma = \{j_1, j_2, \ldots, j_q\} 与 j1<j2<…<jqj_1 < j_2 < \ldots < j_q。在(14)中（其中jj被tt代替），我们用0代替x(k)x(k)代替k∉σk \notin \sigma；因为 0 是 GG 的单位元素，所以我们得到 x(j1)⋅x(j2)…x(jq)x(j_1) \cdot x(j_2) \ldots x(j_q) 的展开作为关于原点的级数积分：

x(j1)⋅x(j2)…x(jq)=∑σ(α)⊂σaα(1),…,α(t)x(j1)α(j1)x(j2)α(j2)…x(jq)α(jq) x(j_1) \cdot x(j_2) \ldots x(j_q) = \sum_{\sigma(\alpha) \subset \sigma} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t)} x(j_1)^{\alpha(j_1)} x(j_2)^{\alpha(j_2)} \ldots x(j_q)^{\alpha(j_q)}

因此，通过 ψq\psi_q 的定义：

ψq(x)=∑σ(α)=σaα(1),…,α(t)xα(j1)+…+α(jq). \psi_q(x) = \sum_{\sigma(\alpha) = \sigma} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t)} x^{\alpha(j_1) + \ldots + \alpha(j_q)}.

由(19)和(20)，我们看到ht,σ(x)=ψcard σ(x)h_{t, \sigma}(x) = \psi_{\mathrm{card}\,\sigma}(x)。那么(18) 意味着

x[t]=∑i=0t(ti)ψi(x)=∑i=0∞(ti)ψi(x). x^{[t]} = \sum_{i=0}^t \binom{t}{i} \psi_i(x) = \sum_{i=0}^\infty \binom{t}{i} \psi_i(x).

然后我们为所有t∈Kt \in \mathbf{K}写出x[t]′=∑i=0∞(ti)ψi(x)x^{[t]'} = \sum_{i=0}^\infty \binom{t}{i} \psi_i(x)。在积分级数x[t]x^{[t]}和x[t]′x^{[t]'}中，每个系数是tt的多项式函数。这对于x[t]′x^{[t]'}来说是显而易见的。就x[t]x^{[t]}而言，只要证明对于所有u∈U(G)u \in \mathrm{U}(G)，uu在x↦x[t]x \mapsto x^{[t]}下的像就是tt的多项式函数。现在，对于u∈Um(G)u \in \mathrm{U}^m(G)，这个像是tmut^m u（§ 4, no. 3，命题7（iv））。

由于x[t]=x[t]′x^{[t]} = x^{[t]'}对应于tt整数≥0\geq 0，因此x[t]=x[t]′x^{[t]} = x^{[t]'}对应于所有t∈Kt \in \mathbf{K}。

注 0AE3

(1) 我们将 t 整数 ⩾0\geqslant 0 写为命题 2 的条件 (ii)：

0=ψ0(x)x=ψ0(x)+ψ1(x)x[2]=ψ0(x)+2ψ1(x)+ψ2(x)………………… \begin{align*} 0 &= \psi_0(x) \\ x &= \psi_0(x) + \psi_1(x) \\ x^{[2]} &= \psi_0(x) + 2\psi_1(x) + \psi_2(x) \\ &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{align*}

这些公式足够确定 ψi\psi_i。

(2) 我们看到ψ0(x)=0,ψ1(x)=x,ψ2(x)=x[2]−2x\psi_0(x) = 0, \psi_1(x) = x, \psi_2(x) = x^{[2]} - 2x，

x[−1]=∑i=1∞(−1)iψi(x). x^{[-1]} = \sum_{i=1}^\infty (-1)^i \psi_i(x).

(3) 上述ψ2\psi_2和公式的表达式 (6) 证明

ψ2(x)≡B(x,x)mod  deg⁡3. \psi_2(x) \equiv \mathrm{B}(x, x) \mod \deg 3.
使用命题 2，(i) 和 (ii)，我们看到

x[t]≡tx+(t2)B(x,x)mod  deg⁡3. x^{[t]} \equiv tx + \binom{t}{2} \mathrm{B}(x, x) \mod \deg 3.

(4) 令ψp,m(x)\psi_{p,m}(x)和ht,m(x)h_{t,m}(x)表示次数m的ψp(x)\psi_p(x)和x[t]x^{[t]}的齐次分量。然后ψp,m=0\psi_{p,m} = 0换m<pm < p。另一方面，命题 2 (ii) 给出

ht,m(x)=∑p≤mt(t−1)…(t−p+1)p!ψp,m(x) h_{t,m}(x) = \sum_{p \leq m} \frac{t(t-1)\ldots(t-p+1)}{p!} \psi_{p,m}(x)
那就是

ht,m(x)=∑1≤r≤mtrϕr,m(x) h_{t,m}(x) = \sum_{1 \leq r \leq m} t^r \phi_{r,m}(x)
其中ϕr,m\phi_{r,m}是齐次多项式映射，次数米，Kn\mathbf{K}^n到Kn\mathbf{K}^n。特别地，通过(23)，

ϕ1,m(x)=∑p≤m(−1)p−1pψp,m(x) \phi_{1,m}(x) = \sum_{p \leq m} \frac{(-1)^{p-1}}{p} \psi_{p,m}(x)
ϕm,m(x)=1m!ψm,m(x). \phi_{m,m}(x) = \frac{1}{m!} \psi_{m,m}(x).

(5) If K\mathbf{K} is of characteristic >0> 0, the results of nos. 1 and 2 remain true, provided eαe_\alpha, in no. 2, is defined by ⟨eα,∑βλβxβ⟩=λα\langle e_\alpha, \sum_\beta \lambda_\beta x^\beta \rangle = \lambda_\alpha. 在no. 3中，如果ψj\psi_j如上定义，则论证再次证明x[t]=∑i=1∞(ti)ψi(x)x^{[t]} = \sum_{i=1}^\infty \binom{t}{i} \psi_i(x) if t∈Nt \in \mathbf{N}。

引用了 1

引用了 命题 2

4. 指数

令 E(x)E(x) 为 GG 的指数映射作为关于 0 的积分级数的展开。 令 L(x)L(x) 为 GG 的单射指数映射的倒数映射作为关于 0 的积分级数的展开。 由于 0 处与任意指数映射的切线映射是 L(G)L(G)、E(x)≡xmod  deg⁡2E(x) \equiv x \mod \deg 2 和 L(x)≡xmod  deg⁡2L(x) \equiv x \mod \deg 2 的恒等式。 由于xx的E(L(x))=L(E(x))E(L(x)) = L(E(x))足够接近0，因此正式的幂级数EE和LL使得E(L(X))=L(E(X))=XE(L(X)) = L(E(X)) = X。 类似的论证表明

E(tX)=(E(X))[t],L(X[t])=tL(X) E(tX) = (E(X))^{[t]}, \quad L(X^{[t]}) = tL(X)
对于t∈Kt \in K。

命题 3 0AE4

(27)

L=∑p=1∞(−1)p−1pψp L = \sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} \psi_p
(28)
E=∑p=1∞1p!ψp,p E = \sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p!} \psi_{p,p}
（回想一下，ψp,p\psi_{p,p}是次数pp的ψp\psi_p的齐次分量。）

被以下引用 2

被以下引用 命题 4, 命题 14, III § 7

或者，通过 (24)，

E(tx)=(E(x))[t] E(tx) = (E(x))^{[t]}

两侧分别为tt和xx正式幂级数。将第一个次数的项等同于tt，我们得到

x=∑m≥0ϕ1,m(E(x)). x = \sum_{m \geq 0} \phi_{1,m}(E(x)).
现在，当可能时，形式幂级数系统的反转只能以一种方式实现（代数、章 IV, § 6，命题 8 的推论）。然后
L(x)=∑m≥0ϕ1,m(x)by (29) L(x) = \sum_{m \geq 0} \phi_{1,m}(x) \quad \text{by (29)}
=∑p,m(−1)ppψp,m(x)by (25) = \sum_{p,m} \frac{(-1)^p}{p} \psi_{p,m}(x) \quad \text{by (25)}
=∑p(−1)ppψp(x), = \sum_p \frac{(-1)^p}{p} \psi_p(x),
从而（一）。同样，对于t≠0t \neq 0，
L(tx)=tL((tx)[t−1]) L(tx) = tL((tx)^{[t^{-1}]})
=tL(∑m≥0∑1≤r≤mtm−rϕr,m(x))by (24). = tL\left( \sum_{m \geq 0} \sum_{1 \leq r \leq m} t^{m-r} \phi_{r,m}(x) \right) \quad \text{by (24)}.

将 t 中第一个次数的项等式，我们得到

x=L(∑m≥0ϕm,m(x)) x = L \left( \sum_{m \geq 0} \phi_{m,m}(x) \right)

whence

E(x)=∑m≥0ϕm,m(x) E(x) = \sum_{m \geq 0} \phi_{m,m}(x)
=∑m≥01m!ψm,m(x)by (26). = \sum_{m \geq 0} \frac{1}{m!} \psi_{m,m}(x) \quad \text{by (26).}

命题 4 0AE5

对于 G 的图表曾经是规范的，ψj=0\psi_j = 0 对于 j≥2j \geq 2 是充分必要的。

引用了 1

引用了 命题 3

命题 3 就足够了。假设图表是规范的，并且 ψi=0\psi_i = 0 适合 2≤i<n2 \leq i < n。然后nx=x[n]=∑i=0n(ni)ψi(x)=nx+ψn(x)nx = x^{[n]} = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \psi_i(x) = nx + \psi_n(x)，从而ψn=0\psi_n = 0。因此，jj 上的归纳为j≥2j \geq 2 ψj=0\psi_j = 0。

习题

参见习题为 § 5。

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