通过考虑 $T(G)$ (§ 2, no. 3) 的左平凡化，立即可见$g \in G$的$g\mathfrak{h}$是$T(G)$的向量子束E的纤维。让$g \in G$。 $(L_a)_g$的集合，其中$a \in \mathfrak{h}$等于$g\mathfrak{h}$。现在，如果$a$和$b$属于到$\mathfrak{h}$，那么$[L_a, L_b] = L_{[a, b]}$和$[a, b] \in \mathfrak{h}$。因此 E 是可积的（*可微且解析流形*, R, 9.3.3 (iv)）。 $\mathfrak{h}g$ 的论证类似。

$g\mathfrak{h}$（或$\mathfrak{h}g$）的并的积分叶化（*可微分和解析流形*，R，9.3.2）被称为与$\mathfrak{h}$相关的G的*左*（或*右*）*叶化*。

令$V$为$G$中$e_G$的开邻域，使得对于$(s, t) \in V \times V$，定义乘积、$st$和$\phi(s)\phi(t)$且$st \in U$。将 $V \times V$ 的映射 $\alpha_1, \alpha_2$ 考虑为 $H$ 定义为

然后$\alpha_1(t, e) = \phi(t) = \alpha_2(t, e)$。另一方面，将$t$固定在$V$中，将$\beta_i$固定在$V$的映射$s \mapsto \alpha_i(s, t)$到$H$中。然后，对于所有$s \in V$和所有$a \in L(G)$，

因此（可微分和解析流形，R，9.3.7）$\alpha_1$和$\alpha_2$重合在$(e_G, e_G)$的邻域上。因此，$\phi$的限制到$e_G$的足够小的对称开邻域，因此是李群细菌的态射，从而（i）。

让$G_1, G_2, \phi_1, \phi_2$如(ii)中那样，让我们​​在$e_G$的邻域上证明$\phi_1, \phi_2$重合。存在$e_G$的开邻域$W$，使得$\phi_1(ts) = \phi_1(t)\phi_1(s)$、$\phi_2(ts) = \phi_2(t)\phi_2(s)$对于$W$中的所有$s, t$。那么，如果$s \in W$和$a \in L(G)$，

$i = 1, 2$。作为$\phi_1(e_G) = e_H = \phi_2(e_G)$，从可微分和解析流形，R，9.3.7可以得出$\phi_1$和$\phi_2$重合在$e_G$的邻域上。

这是从定理 1 和 § 1, no. 10、命题 21 得出的。

加法群 $L(G)$ 的李代数与 $L(G)$ 同构的。因此，应用推论 1 就足够了。

G 存在一个可交换的开李子群胚芽 U（推论 2）。令 V 为 e 的邻域，使得 V^2 ⊂ U。则对于 V 中的所有 x, y，xy = yx。因此V生成的G的子群是可交换的；显然是开放的。

G被称为由L*定义的*李群胚芽。

假设 K 是超度量的。令$p$为K的剩余类域的特征。如果$p \neq 0$，则令$\lambda = |p|^{1/(p-1)}$；如果$p = 0$，则令$\lambda = 1$。

G称为由L*定义的*李群。

第一个断言由引理2和3得出。第二个断言由推论1到no. 1的定理1得出。

我们写 L(G) = L。在L上定义选择范数，在L上定义拓扑，这样$\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$对于L中的所有x，y。

假设 K = R 或 C。令 G' 为由 L 定义的李群胚芽。 G' 中存在中心 0 的开球 U' 和李群胚芽 U' 的同构 $\phi$ 位于 G 中 e 的开邻域 U 上。设 V' = $\frac{1}{2} U'$, $V = \phi(V')$, H V和$h \in H$中包含G的子群。让$x = \phi^{-1}(h) \in V'$。如果$x \neq 0$，则存在整数 $n > 0$，使得$x, 2x, \ldots, nx$位于V'、$(n+1)x \in U'$、$(n+1)x \notin V'$中。那么$h, h^2, \ldots, h^n$在V，

这是荒谬的。因此 H = {e}。

假设 K 是超度量的。当G是李群与L相关时，足以证明推论。如果G中计算的g的$g \in G$、幂是L中计算的$\mathbf{Z}g$的元素。如果$g \neq e$，它们是不同的。因此 G 包含没有与 {e} 不同的有限子群。

在 K 上存在李群胚芽$G_1$使得$L(G_1) = L'$(定理2)。根据no. 1的推论1至定理1，G和$G_1$被视为李k群细菌，是局部同构的。因此，G 中存在 e 的开邻域 G'，G' 上存在李 K 群胚芽结构，其中李代数L，与 k 上的李群胚芽结构兼容。令 V 为 G 中 e 的对称开邻域，使得 $V^2 \subset G'$。让$g \in G$。那么 $\phi = \operatorname{Int} g$ 是 G' 的足够小的开李子群胚芽到 G' 的开李子群胚芽的 k 同构；并且 $T_e(\phi)$ 是 K 线性的，因此当 x 足够接近 e 时，$T_x(\phi)$ 是 K 线性的；因此，Int g 的限制到 V 中 e 的足够小的开邻域是 K-解析的（可微且解析流形，R，5.14.6）。到 § 1, no. 9，命题 18，G 上存在一个解析 K 流形结构，其中 G 是一个谎言

K-群和V是G的开子K-流形。通过翻译，可以看出G的底层k流形结构是给定的结构。李 K 群 G 的李代数与开李 K 子群胚芽 V 相同，因此是 L'。最后，推论中所述的唯一性是从§ 3, no. 8、命题32得出的。

那么$H_1 \cap H_2$在$H_1$和$H_2$开放。

存在李群胚芽$H'$，其中李代数同构于$\mathfrak{h}$（定理2）。如果必要的话，收缩$H'$，可以假设$H'$存在态射$\phi$到G中，使得$L(\phi)$是$L(H')$的同构到$\mathfrak{h}$（no. 1，定理） 1）。由于 $\mathfrak{h}$ 承认拓扑补充，$\phi$ 是 e 处的浸没。因此，进一步缩小$H'$，可以假设$\phi$是流形$H'$的同构到G的子流形上。这证明了H的存在。第二个断言由以下命题推出：

如果$H \cap H'$在$H'$开放，则$L(H') = L(H \cap H') \subset L(H)$。假设$L(H) \supset L(H')$。令i，$i'$为H的典范嵌入，$H'$为G。如有必要，通过收缩$H'$，可以假设存在$H'$的态射$\psi$到H中，使得$L(\psi)$为典范嵌入 $L(H')$ 变为 $L(H)$（no. 1、定理 1）。那么$L(i \circ \psi) = L(i')$，因此$H'$中存在$e_{H'}$的邻域V，使得$i \circ \psi$和$i'$重合在V（定理1）上。因此 $V \subset H$、$V \subset H \cap H'$ 和 $H \cap H'$ 在 $H'$ (§ 1, no. 10) 中开放。

存在李 K 群 G 的李子群胚$H'$，使得 $L(H') = L(H)$ (定理 3)。考虑G、H、$H'$为李k群细菌； 定理 3 然后证明$H \cap H'$ 在H 和$H'$ 中开。因此，G 中存在 e 的开邻域 U，使得 $U \cap H$ 是 G 在 K 上的子流形。因此，H 是李 K 群 G 的李子群 (§ 1, no. 3，命题 6)。

(v) ⇒ (i)：显然，对于 (λb).(λ'b) = (λ + λ')b 在 W 中 |λ|和|λ'|足够小。 (i)⇒(ii)：假设满足条件(i)。设 b ∈ L。令 ψ 为 φ 到 V ∩ Kb 的限制。通过假设，加法李群 Kb 中存在对称邻域 T 为 0，使得 ψ|T 为李群胚芽 T 到 G 的态射。因此

使得 φ_*(b^n) 是 U(G) 中次数 n 的齐次。 (ii) ⇒ (iii): 这是因为 TS^n(L) 是由 L 的元素的第 n 个幂生成的 TS(L) 的向量子空间 (代数, 章) IV, § 5、命题5)。 (iii) ⇒ (iv): TS(L)的典范映射进入L的包络线代数，是分级余代数映射1到1的唯一态射，并延伸Id_L(章II, § 1, no. 5， 注3)。现在 φ_* 为余代数态射并且 φ_*|L = Id_L by 假设。如果条件(iii)成立，则可知条件(iv)也成立。 (iv)⇒(v)：假设满足条件(iv)。 选择范数在 L 上定义 L 的拓扑且满足 \|[x, y]\| \leq \|x\|\|y\|对于 L 中的所有 x, y。令 H 为由范数李代数 L 定义的李群胚芽。通过定理 1，存在 H 的开子群胚芽 S ⊂ V 和 S 的同构 φ' 到 G 的开子群胚芽。我们已经知道 (v) ⇒ (iv)，TS(L) 的映射 φ_* 变为U(G) 是 TS(L) 的典范映射到 L 的包络线代数中。因此，对于所有 t ∈ T_0^{(∞)}(L)，φ_*(t) = φ'_*(t)。由于 φ 和 φ' 是解析的，因此 φ 和 φ' 重合在 0 的邻域上。

定义在$L_1 \times L_2 \times \cdots \times L_n$的开子集上，是解析的。 $(0, 0, \ldots, 0)$ 到 $\theta$ 的切线映射是 $L_1 \times \cdots \times L_n$ 到 L 的典范映射。

设$k_i$为$L_i$的典范嵌入到$L_1 \times L_2 \times \cdots \times L_n$。然后，对于所有 $b \in L_i$、$(T_{(0, \ldots, 0)}\theta)(T_0k_i)(b) = (T_0\phi)(b) = b$，因此 $(T_{(0, \ldots, 0)}\theta)|L_i$ 是 $L_i$ 的典范嵌入到 L。

特别是，$\theta$ 是 $(0, 0, \ldots, 0)$ 的 étale。它的限制足够小

LIE GROUPS

$(0, 0, \ldots, 0)$的开邻域U在G中有一个开像，并且是流形U的同构到流形$\theta(U)$。 U 上 $\theta(U)$ 的逆映射 $\eta$ 称为 G 的第二个类* 的*规范图，与给定的 L 的分解关联为直和。如果进一步的 G 是有限维的，并且每个 $L_i$ 由非零向量 $e_i$ 生成，则由 $\eta$ 定义的 $\theta(U)$ 上的坐标系统和 $e_i$ 称为第二个类* 的*规范坐标系统。

(1)

(2) （注，$\phi^{-1}(\phi(\lambda x) \phi(\lambda y))$和$\phi^{-1}(\phi(\lambda x) \phi(\lambda y) \phi(-\lambda x) \phi(-\lambda y))$被定义为$|\lambda|$足够小）。

让$L = L(G)$被给定范数，定义L的拓扑，并且$\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$适用于L中的所有$x, y$。使用定理 2和4，可以假设G是由L和$\phi = \mathrm{Id}_G$定义的李群胚芽。设$(x, y) \mapsto x \cdot y$表示群G中的乘积，则待证明的公式可写成 (3)

(4)

K 中存在 0 的开邻域 V，使得函数

在 V 上定义并解析。将$f$的章II, § 6, no. 4、*注2*、展开作为关于原点的级数积分为 这证明了(3)。另一方面，对于G中的$u, v$和$\|u\|, \|v\|$足够小，$u \cdot v$是$(u, v)$的解析函数和次数1和2在展开中的项作为这个函数的积分关于原点的级数是$u + v + \frac{1}{2}[u, v]$。通过*可微解析流形*，R，3.2.7和4.2.3，次数1和2的项在函数$f(\lambda) \cdot f(-\lambda)$的展开作为关于原点的积分级数是项次数 1 和 2 英寸 或也在 这就证明了(4)。

指数映射

§ 4.3

相对于G'，$\phi$满足定理4的假设(i)，因此是G'的指数映射。

让L被赋予与其拓扑兼容的范数，并且使得$\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$对于所有$x, y \in L$。考虑 G 是由 L 和 $\phi = \operatorname{Id}_G$ 定义的李群胚芽的情况就足够了。通过定义，$\varpi(x)$ 是 G 在 x 处到映射 $y \mapsto y . x^{-1}$ 到 G 的切线映射。如果 $H(X, Y)$ 表示 Hausdorff 级数，则 $\varpi(x)$ 是，对于 $\| x \|$ 足够小，切线映射在G的0到映射$y \mapsto H(x, +y, -x)$进入G。在$H(X + Y, -X)$中，Y中第一个次数的项的和是

（章II, § 6, no. 5，命题5）。 命题由可微分和解析流形、R、3.2.4 和 4.2.3 得出。

令 G 为李群胚芽和$t \in K$。 G* 的 *t-th 幂映射是任意映射，在 e 的开邻域上定义和解析，其中值在 G 中并且在 e 的邻域上与映射重合

其中 $\phi$ 是 G 的单射指数映射。

(ii) 在 e 处与第 t 个幂映射的切线映射是比率 t 的位似。

(iii) 如果 h 是 G 的第 t 个幂映射并且 h' 是 G 的第 t' 个幂映射，则 $h \circ h'$ 是第 (tt') 个幂映射并且 $g \mapsto h(g)h'(g)$ 是 (t + t')-第幂映射.

(iv) 如果 h 是第 t 个幂映射和 $u \in U^n(G)$，则 $h_*(u) = t^n u$。

当 G 是由完整范数李代数定义的李群胚芽时，并且当考虑的第t个幂映射是使用指数映射$\phi = \operatorname{Id}_G$构造时，足以证明命题。但在这种情况下，一切都是显而易见的。

让 $L(G)$ 和 $L(H)$ 被给定范数定义它们的拓扑，并且使得 $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ 对于所有 x 和 y。可以假设 G（分别为 H）是由 $L(G)$（分别为 $L(H)$）定义的李群胚芽，因此 $\phi_G$（分别为 $\phi_H$）重合和 $\mathrm{Id}_G$（分别为 $\mathrm{Id}_H$） 邻域为 0。另一方面，$L(G)$ 中存在 0 的对称开邻域 W，使得 $L(h)$ 为李群胚芽 W 到 H 的态射。由定理 1，$L(h)$ 重合，邻域上的 h 为 0，从而命题。

宽松地说，如果 G 和 H 在单位元素的邻域中与 $L(G)$ 和 $L(H)$ 通过指数映射进行辨识，则 G 到 H 的每个态射在 0 的邻域中都是“线性”。

(i) $L(G')$ 中存在 0 的开邻域 V，使得 $\phi|V$ 是流形 V 的同构到 G' 中 e 的开邻域。

(ii) 设 $x \in L(G)$。以下条件是等效的： (a) $x \in L(G')$； (b) $\phi(\lambda x) \in G'$ 对于 $|\lambda|$ 足够小。

(i) 是通过将 G' 的应用命题 8 到典范嵌入代入 G 获得的，并且 (ii) 由 (i) 得出。

这是从 no. 3 的命题 8 和例 2 得出的。

(i) $L(G)$ 中存在 0 的邻域 V 使得

对于所有$x \in V$。

(ii) 如果 $g \in G$，$L(G)$ 中存在 0 的邻域 W，使得

对于所有$x \in W$。

(i) 由推论 2 和 § 3, no. 12、命题 44 得出。 (ii) 从适用于 Int g 的命题 8 得出。

(i) 设 $h_e = h$。那么h是$L(G)$的谎言子代数，在$\mathrm{Ad}_{L(G)}(H)$下不变。

(ii) $h_x = xh = hx$ 对于所有 $x \in H$（其中 $xh$ 和 $hx$ 在 $T(G)$ 中评估）。

(iii) 令V为类$C^r$的流形、V的$v_0$点以及V的类$C^r$的f映射代入G，使得$f(v_0) = e$ 和 $f(V) \subset H$。对于具有李代数 h 的 G 的每个谎言子群胚$H'$，$f(v) \in H'$ 对于足够接近 $v_0$ 的 v。

(iv) 对于具有李代数 h 的 G 的每个谎言子群胚$H'$，$H' \cap H$ 是$H'$ 中 e 的邻域。

(v) 对于所有$x \in H$和所有$a \in h_x$，K中存在0的开邻域I和G中I的类$C^a$的映射f，使得$f(0) = x, f(I) \subset H, (T_0f)(1) = a$。显然，对于 H 中的 $x, y, xy, xyz$，$Kh = h$ 和 $xh_yz = h_{xyz}$。这意味着 (ii) 以及 h 在 $\mathrm{Ad}_{L(G)}(H)$ 下不变的事实。

设 $a_1, a_2$ 位于 h 中。令I是K中0的开邻域，并将I的类$C^r$的$f_1, f_2$映射放入G中，使得$f_j(0) = e, f_j(I) \subset H, (T_0f_j)(1) = a_j$（$j = 1, 2$）。我们定义$f : I \to G$到$f(\lambda) = f_1(\lambda)f_2(\lambda)$。那么 f 就是类 $C^r$ 和 $f(0) = e$。如有必要，通过缩小 I，我们得到 $f(I) \subset H$。另一方面，$T_e(G) \times T_e(G)$到$T_e(G)$的映射与映射$(g, g') \to gg'$的切线是加法；因此$(T_0f) = a_1 + a_2$。因此 $a_1 + a_2 \in h$ 且 h 为 $L(G)$ 的向量子空间。由于$xhx^{-1} = h$适用于所有$x \in H$，$(\mathrm{Ad}_{f_1(\lambda)}) . a_2 \in h$适用于所有$\lambda \in I$。 0 到映射 $\lambda \mapsto \mathrm{Ad}f_1(\lambda)$ 处的切线映射为 § 3, no. 12 的命题 44，映射 $\lambda \mapsto \mathrm{ad}(a_1\lambda)$；因此

因为 h 在 $L(G)$ 内闭合。由此我们证明了(i)。在证明的其余部分中，我们用李代数 h 修复了 G 的谎言子群胚芽 $H'$。

令V、$v_0, f$如(iii)中所示。令 Y 为与 h (no. 1) 相关的 G 的左叶化。对于所有$y \in H'$，$T_y(H') = yh$。另一方面，对于所有$v \in V$，$T_v(f)$下的$T_v(V)$的像包含在$h_{f(v)} = f(v)h$中（$h_{f(v)}$的定义）。通过 可微分和解析流形, R, 9.3.2，f 是 V 的态射进入 Y。由于 $H'$ 是 Y 的叶子（*可微分和解析流形*, R, 9.2.8），$f(v) \in H'$ 对于 v 足够接近$v_0$。

设 $(a_1, \ldots, a_s)$ 为 h 的基。 K 中存在 0 的开邻域 I，G 中存在 I 的类 $C^r$ 映射 $f_1, \ldots, f_s$，使得对于所有 j 都有 $f_j(0) = e, f_j(I) \subset H, (Tf_j)1 = a_j$。到(iii)，$f_j(\lambda) \in H'$对于$|\lambda|$足够小。因此，对于$|\lambda_1|, |\lambda_2|, \ldots, |\lambda_s|$足够小，$f_1(\lambda_1)f_2(\lambda_2)\ldots f_s(\lambda_s)$构成$H'$中$e$的邻域；而这个邻域包含在$H$中。因此(iv)。

如果$a \in \mathfrak{h}$，则$K$中存在$0$的开邻域$I$和$I$的映射$f$到$G$的类$C^\omega$，使得$f(0) = e, f(I) \subset H', (T_0 f)1 = a$。这与 (iv) 一起意味着 (v)。

(i) 在 $H$ 上存在且仅有一个解析流形结构与以下性质：对于 1 到 $\omega$ 之间的所有 $r$，对于类的每个流形 $V$ $C^r$ 且对于 $V$ 的每个映射 $f$ 到 $H$，$f$ 的类 $C^r$ 与 $V$ 的映射到 $H$ 当且仅当$f$ 是类 $C^r$，就像映射是 $V$ 的$G$。

(ii) 有了这个结构，$H$是李群，$H$到$G$的典范嵌入$i$是沉浸，$L(i)(L(H))$是$e$到$H$的谎言子代数切线。

在(i)中唯一性是显而易见的。我们证明存在。令 $\mathfrak{h}$ 为李代数在 $e$ 到 $H$ 的切线。设$H'$是$G$与李代数$\mathfrak{h}$的谎言子群胚芽。通过替换$H'$通过$H'$的开放子群胚芽，可以假设$H' \subset H$（引理4（iv））。对于所有$x \in H$，$xH'x^{-1}$是$G$与李代数$x\mathfrak{h}x^{-1} = \mathfrak{h}$的谎言子群胚芽。因此，$H' \cap (xH'x^{-1})$ 在 $H'$（no. 2、定理 3）中开放，映射 $y \mapsto xyx^{-1}$ 是 $H' \cap x^{-1}H'x$ 的同构到 $xH'x^{-1} \cap H'$。利用§ 1, no. 9的命题 18，$H'$和李群结构存在一个开谎言子群胚芽$W$，并且在$H$上具有以下性质： $W$在$H$开并且$H$ 上的流形结构和$H'$ 诱导 $W$ 上的结构相同。由此可见，$H$到$G$的典范嵌入$i$是沉浸，$L(i)(L(H)) = L(H') = \mathfrak{h}$。此外，令$V$和$f$如(i)中那样。如果 $f : V \to H$ 为类 $C^r$，则 $i \circ f : V \to G$ 为类 $C^r$。假设$i \circ f : V \to G$是类$C^r$；那么我们证明$f : V \to H$是类$C^r$。通过翻译，考虑存在$v_0 \in V$使得$f(v_0) = e$的情况并证明$f : V \to H$在$v_0$的开邻域中是类$C^r$就足够了。现在，到引理 4 (iii)，$f(v) \in H'$对于$v$足够接近$v_0$，从而我们的断言。这样我们就证明了(i)和(ii)已经得到了。