习题 6, § 8

设$G$为类$C^r$(§ 5,习题1)与$r \geqslant 2$的群。 $G$ 上存在且仅存在一个实李群结构 $S$，使得$S$ 的类 $C^r$ 的基础流形结构是给定的结构。 （$S$的唯一性由推论1至定理1得出。 令$L(G)$为与§ 5的习题2中的$G$相关联的规范李代数。 $L(G')$上存在实李群胚芽$G'$和同构$h$到$L(G)$（§ 4，定理3）。 验证§ 4, no. 1中$G'$中存在$e_G$的对称开邻域$G''$和$G$中$G''$的类$C^r$的映射$\phi$，使得$T_e(\phi) = h$ 和 $\phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2)$ 对应 $G''$ 中的 $g_1, g_2$。 通过收缩$G''$，可以假设$V = \phi(G'')$在$G$中开路，并且$\phi$是类$C^r$的同构，流形$G''$到流形$V$。 因此，$V$实李群胚芽结构上存在类$C^r$的底层流形结构是给定的结构。 对于所有 $g \in G$，Int $g$ 定义作为 $V \cap (g^{-1}Vg)$ 的解析映射到 $(gVg^{-1}) \cap V$ (定理 1)。 到 § 1 的命题 18 时，$G$ 实李群结构 $S$ 上存在结构 ，并在 $e$ 的开邻域上产生与 $V$ 相同的解析。 通过翻译，$G$上$S$的类$C^r$的基础流形结构是给定的结构。）