Exercice 6, § 8

Soit $G$ un groupe de classe $C^r$ (§ 5, exerc. 1), avec $r \geq 2$. Il existe sur $G$ une structure $S$ de groupe de Lie réel et une seule telle que la structure de variété de classe $C^r$ sous-jacente à $S$ soit la structure donnée. (L’unicité de $S$ résulte du cor. 1 du th. 1. Soit $L(G)$ l’algèbre de Lie normable associée à $G$ dans l’exerc. 2 du § 5. Il existe un groupuscule de Lie réel $G'$ et un isomorphisme $h$ de $L(G')$ sur $L(G)$ (§ 4, th. 3). On vérifie comme au § 4, n° 1, qu’il existe un voisinage ouvert symétrique $G''$ de $e_G$ dans $G'$ et une application $\varphi$ de classe $C^r$ de $G''$ dans $G$

¹ Cela résulte du théorème du point fixe de Brouwer, pour lequel on pourra consulter, par exemple, N. DUNFORD et J. T. SCHWARTZ, Linear operators, part I (Interscience publishers, 1958), p. 467–470. ² Pour plus de détails, cf. M. GOTO, On an arcwise connected subgroup of a Lie group, Proc. Amer. Math. Soc., t. XX (1969), p. 157–162.

telle que $T_e(\varphi) = h$ et que $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2)$ pour $g_1, g_2$ dans $G''$. En diminuant $G''$, on peut supposer que $V = \varphi(G'')$ est ouvert dans $G$ et que $\varphi$ est un isomorphisme de classe $C^r$ de la variété $G''$ sur la variété $V$. Il existe donc sur $V$ une structure de groupuscule de Lie réel telle que la structure sous-jacente de variété de classe $C^r$ soit la structure donnée. Pour tout $g \in G$, Int $g$ définit une application analytique de $V \cap (g^{-1}Vg)$ sur $(gVg^{-1}) \cap V$ (th. 1). D’après la prop. 18 du § 1, il existe sur $G$ une structure $S$ de groupe de Lie réel induisant la même structure analytique que $V$ sur un voisinage ouvert de $e$. Par translation, la structure de variété de classe $C^r$ sous-jacente à $S$ sur $G$ est la structure donnée.)