Bài tập 6, § 8

Cho $G$ là một nhóm có lớp $C^r$ (§ 5, Bài tập 1) với $r \geqslant 2$. Trên $G$ tồn tại một và chỉ một cấu trúc nhóm Lie thực $S$ sao cho cấu trúc đa tạp nền lớp $C^r$ của $S$ là cấu trúc đã cho. (Tính duy nhất của $S$ suy ra từ Hệ quả 1 của Định lý 1. Gọi $L(G)$ là đại số Lie chuẩn tắc liên kết với $G$ trong Bài tập 2 của § 5. Tồn tại một mầm nhóm Lie thực $G'$ và một đẳng cấu $h$ của $L(G')$ lên $L(G)$ (§ 4, Định lý 3). Kiểm chứng như trong § 4, no. 1 rằng tồn tại một lân cận mở đối xứng $G''$ của $e_G$ trong $G'$ và một ánh xạ $\phi$ lớp $C^r$ của $G''$ vào $G$ sao cho $T_e(\phi) = h$ và $\phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2)$ với $g_1, g_2$ trong $G''$. Bằng cách thu nhỏ $G''$, có thể giả sử rằng $V = \phi(G'')$ là mở trong $G$ và rằng $\phi$ là một đẳng cấu lớp $C^r$ của đa tạp $G''$ lên đa tạp $V$. Do đó tồn tại trên $V$ một cấu trúc mầm nhóm Lie thực sao cho cấu trúc đa tạp nền lớp $C^r$ là cấu trúc đã cho. Với mọi $g \in G$, Int $g$ xác định một ánh xạ giải tích của $V \cap (g^{-1}Vg)$ lên $(gVg^{-1}) \cap V$ (Định lý 1). Theo Mệnh đề 18 của § 1, tồn tại trên $G$ một cấu trúc nhóm Lie thực $S$ cảm sinh cùng một cấu trúc giải tích như $V$ trên một lân cận mở của $e$. Bởi phép tịnh tiến, cấu trúc đa tạp nền lớp $C^r$ của $S$ trên $G$ là cấu trúc đã cho.