Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 8。 HAUSDOFF 级数的收敛性（超度量情况）

在本段中，我们假设 K 是特征零* 的非离散*完整值域，具有*超度量*绝对值值。我们用$p$表示K的剩余类域的特征（*交换代数*，章VI, § 3, no. 2）。 如果$p \neq 0$，我们写$a = |p|$；我们知道（*交换代数*，章VI, § 6，第 2 和第 3 个）$0 < a < 1$，并且存在一个且只有一个对 K 的评估$v$，其中值位于$\mathbf{R}$，其限制到$\mathbf{Q}$是$p$-adic 估值$v_p$，对于所有$x \in K$，$|x| = a^{v(x)}$。我们还写： (1) $\theta = \frac{1}{p-1}.$

如果$p = 0$，我们用$a$实数表示，使得$0 < a < 1$，并用$v$表示对$\mathbf{K}$的评估，其中值在$\mathbf{R}$中，使得$|x| = a^{v(x)}$对于所有$x \in \mathbf{K}$（*loc.cit.*）。然后$v(x) = 0$换$x \in \mathbf{Q}^*$。我们还写：

1. 级数 exp、log 和 $\mathbf{H}$ 的 $p$-adic 上界

在此编号中。我们假设 $p \neq 0$.

2. 规范李代数

对于每个有限的集合I，我们定义就像§ 7, no. 1一样，将$\hat{L}(I)$的连续李代数同态$u \mapsto \tilde{u}$变成$\hat{P}(g^I; g)$。我们在§ 7中看到，如果$u = \sum_v u_v$，其中$u_v \in L^v(I)$代表$v \in \mathbf{N}^I$，则$\tilde{u} = \sum_v \tilde{u}_v$，其中$\tilde{u}_v$是§ 2, no. 4中定义的多项式映射$(t_i)_{i \in I} \mapsto u_v((t_i))$。 合成公式 (2) of § 7, no. 1，仍然有效。

3. 群由完整规范定义李代数

令 $H = \sum_{r, s \geq 0} H_{r,s} \in \hat{L}(\{U, V\})$ 为 Hausdorff 级数 (§ 6, no. 4, 定义 1)。我们将证明相应的形式幂级数具有连续成分

令 $r \geq 0, s \geq 0$ 满足 $r + s \neq 0$，并令 $\| \tilde{H}_{r,s} \|$ 为连续多项式 $\tilde{H}_{r,s}$ 的范数（可微且解析流形、R、附录、no. 2）。

4. 完全范数结合指数代数

在这个没有。 A 将表示单位结合词代数与范数 $x \mapsto \| x \|$ 满足条件：

对于$A$中的$x, y$，并用这个范数*完备的*。 § 7, no. 3第二段和第三段的结果仍然有效。

我们取$I = \{ U \}$，并在$\hat{P}(A; A)$中考虑级数、$e(U) = \sum_{n \geq 1} \frac{U^n}{n!}$和$l(U) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} \frac{U^n}{n}$的像、$\tilde{e}$和$\tilde{l}$。然后：

引理 2 / no. 1。因此，级数$\tilde{e}$（分别$\tilde{l}$）的*绝对收敛半径*是$\geq a^\theta$（分别$\geq 1$）（*可微分和解析流形*，R，4.1.3）。对于$R > 0$，设$G_R = \{ x \in A \mid \|x\| < R \}$；我们写$G = G_0$。 级数$\tilde{e}$（分别$\tilde{l}$）定义将$G$（分别$G_1$）解析为$A$的映射$e_A$（分别$l_A$）。我们写：

习题

我们假设域$K$的残差特征$p$>0。我们用$\mathfrak{o}_K$环表示$K$的估值$v$。

参见习题为 § 8。