Bourbaki

习题 1, § 8

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李群与李代数, II, 205

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(a) 如果v(π)=0v(\pi) = 0 和πp−1/p≡−1(modπoK)\pi^{p-1}/p \equiv -1 \pmod{\pi \mathfrak{o}_K}，KK 的元素 π\pi 被称为可允许的。 （注自 v(π)=0v(\pi) = 0 以来的 πp−1/p∈oK\pi^{p-1}/p \in \mathfrak{o}_K。） 证明该段落存在域 KK 满足条件以及包含一个可接受的元素（与Qp\mathbf{Q}_p (p−1)(p-1)-第根 −p-p 相邻）。

(b) 设π\pi为KK的可接受的元素。考虑以下形式的幂级数，系数在 KK 中：

eπ(U)=1πe(πU)=∑n=1∞πn−1Un/n!, e_{\pi}(U) = \frac{1}{\pi} e(\pi U) = \sum_{n=1}^{\infty} \pi^{n-1} U^n / n!,
lπ(U)=1πl(πU)=∑n=1∞(−π)n−1Un/n. l_{\pi}(U) = \frac{1}{\pi} l(\pi U) = \sum_{n=1}^{\infty} (-\pi)^{n-1} U^n / n.

证明这些级数是另一个的倒数，并且它们的系数属于到 oK\mathfrak{o}_K（使用引理 2）。

(c) 设 {U,V}\{U, V\} 为集合，加上两个元素，并令 H(U,V)H(U, V) 为 Hausdorff 级数。我们写

Hπ(U,V)=1πH(πU,πV). H_{\pi}(U, V) = \frac{1}{\pi} H(\pi U, \pi V).

然后Hπ(U,V)∈L^K({U,V})H_{\pi}(U, V) \in \hat{L}_K(\{U, V\})。

表明

Hπ(U,V)=lπ(eπ(U)+eπ(V)+πeπ(U)⋅eπ(V)). H_{\pi}(U, V) = l_{\pi}(e_{\pi}(U) + e_{\pi}(V) + \pi e_{\pi}(U) \cdot e_{\pi}(V)).

推导出Hπ∈L^oK({U,V})H_{\pi} \in \hat{L}_{\mathfrak{o}_K}(\{U, V\})，即HπH_{\pi}属于到oK\mathfrak{o}_K的系数；因此另一个证明等于命题 1。

(d) 令e~π\tilde{e}_{\pi}、l~π\tilde{l}_{\pi}和H~π\tilde{H}_{\pi}表示通过对eπe_{\pi}、lπl_{\pi}和HπH_{\pi}取模πoK\pi \mathfrak{o}_K减少而获得的级数；它们的系数属于到环oK/πoK\mathfrak{o}_K/\pi \mathfrak{o}_K。

显示l~π(U)=U−Up\tilde{l}_{\pi}(U) = U - U^p（注，如果n≠1, pn \neq 1,\ p，则vp(n)<(n−1)θv_p(n) < (n-1)\theta）。推断出

e~π(U)=U+Up+⋯+Upn+⋯ \tilde{e}_{\pi}(U) = U + U^p + \cdots + U^{p^n} + \cdots

还有那个

H~π(U,V)=e~π(U)+e~π(V)−(e~π(U)+e~π(V))p, \tilde{H}_{\pi}(U, V) = \tilde{e}_{\pi}(U) + \tilde{e}_{\pi}(V) - (\tilde{e}_{\pi}(U) + \tilde{e}_{\pi}(V))^p,

或者也

H~π(U,V)=U+V−Λp(∑n=0∞Upn,∑n=0∞Vpn), \tilde{H}_{\pi}(U, V) = U + V - \Lambda_p \left( \sum_{n=0}^{\infty} U^{p^n}, \sum_{n=0}^{\infty} V^{p^n} \right),

其中 Λp\Lambda_p 由公式定义

Λp(U,V)=(U+V)p−Up−Vp,cf. Chapter I, § 1, Exercise 19. \Lambda_p(U, V) = (U + V)^p - U^p - V^p, \quad \text{cf. Chapter I, § 1, Exercise 19.}

特别地，H~π(U,V)\tilde{H}_{\pi}(U, V)属于至L^Fp({U,V})\hat{L}_{\mathbf{F}_p}(\{U, V\})，其齐次分量次数pp为−Λp(U,V)-\Lambda_p(U, V)。然后

H~π(U,V)=H~π(V,U) \tilde{H}_{\pi}(U, V) = \tilde{H}_{\pi}(V, U)
H~π(U,H~π(V,W))=H~π(H~π(U,V),W)in L^Fp({U,V,W}), \tilde{H}_{\pi}(U, \tilde{H}_{\pi}(V, W)) = \tilde{H}_{\pi}(\tilde{H}_{\pi}(U, V), W) \quad \text{in } \hat{L}_{\mathbf{F}_p}(\{U, V, W\}),
其中 WW 是第三个不定式。

(e) 令 C(U,V)=H(−U,H(−V,H(U,V)))C(U, V) = H(-U, H(-V, H(U, V))) (“Hausdorff 换位子”)。然后exp⁡(C(U,V))=exp⁡(−U)exp⁡(−V)exp⁡(U)exp⁡(V)\exp(C(U, V)) = \exp(-U) \exp(-V) \exp(U) \exp(V)。我们写

Cπ(U,V)=1πC(πU,πV). C_{\pi}(U, V) = \frac{1}{\pi} C(\pi U, \pi V).
显示 Cπ(U,V)C_{\pi}(U, V) 属于到 πoK\pi \mathfrak{o}_K 的系数（使用 H~π(U,V)=H~π(V,U)\tilde{H}_{\pi}(U, V) = \tilde{H}_{\pi}(V, U) 的事实）。†

解答

尚未写出解答。

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