Exercice 1, § 8

a) Un élément $\pi$ de $K$ est dit admissible si $v(\pi) = \theta$, et si $\pi^{p-1}/p \equiv -1 \pmod{\pi \mathfrak{o}_K}$. (Noter que l’on a $\pi^{p-1}/p \in \mathfrak{o}_K$ puisque $v(\pi) = \theta$.) Montrer qu’il existe des corps $K$ qui vérifient les conditions du paragraphe, et contiennent un élément admissible (adoindre à $\mathbf{Q}_p$ une racine $(p-1)$-ième de $-p$). b) Soit $\pi$ un élément admissible de $K$. On considère les séries formelles suivantes, à coefficients dans $K$:

EXERCICES

Montrer que ces séries sont réciproques l’une de l’autre et que leurs coefficients appartiennent à $\mathfrak{o}_K$ (utiliser le lemme 2).

c) Soit $\{U, V\}$ un ensemble à deux éléments, et soit $H(U, V)$ la série de Hausdorff. On pose

On a $H_\pi(U, V) \in \hat{L}_K(\{U, V\})$.

Montrer que

En déduire que $H_\pi \in \hat{L}_{\mathfrak{o}_K}(\{U, V\})$, i.e. que les coefficients de $H_\pi$ appartiennent à $\mathfrak{o}_K$; d’où une autre démonstration de la prop. 1.

d) On note $\tilde{e}_\pi, \tilde{l}_\pi$ et $\tilde{H}_\pi$ les séries obtenues en réduisant $e_\pi, l_\pi$ et $H_\pi$ modulo $\pi \mathfrak{o}_K$; leurs coefficients appartiennent à l’anneau $\mathfrak{o}_K/\pi \mathfrak{o}_K$.

Montrer que l’on a $\tilde{l}_\pi(U) = U - U^p$ (noter que $v_p(n) < (n-1)\theta$ si $n \neq 1, p$). En déduire que

et que

ou encore:

où $\Lambda_p$ est défini par la formule

En particulier, $\tilde{H}_\pi(U, V)$ appartient à $\hat{L}_{\mathbf{F}_p}(\{U, V\})$ et sa composante homogène de degré $p$ est $-\Lambda_p(U, V)$. On a

$W$ étant une troisième indéterminée.

e) Soit $C(U, V) = H(-U, H(-V, H(U, V)))$ (« commutateur de Hausdorff »). On a $\exp(C(U, V)) = \exp(-U) \exp(-V) \exp(U) \exp(V)$. Posons

Montrer que les coefficients de $C_\pi(U, V)$ appartiennent à $\pi \mathfrak{o}_K$ (utiliser le fait que $\tilde{H}_\pi(U, V) = \tilde{H}_\pi(V, U)$).¹