Bài tập 1, § 8

(a) Một phần tử $\pi$ của $K$ được gọi là khả chấp nếu $v(\pi) = 0$ và $\pi^{p-1}/p \equiv -1 \pmod{\pi \mathfrak{o}_K}$. (Chú ý rằng $\pi^{p-1}/p \in \mathfrak{o}_K$ vì $v(\pi) = 0$.) Chứng minh rằng tồn tại các trường $K$ thỏa mãn các điều kiện của đoạn trên và chứa một phần tử khả chấp (thêm vào $\mathbf{Q}_p$ một nghiệm bậc $(p-1)$ của $-p$).

(b) Cho $\pi$ là một phần tử khả chấp của $K$. Xét các chuỗi lũy thừa hình thức sau với các hệ số trong $K$:

Chứng minh rằng các chuỗi này là nghịch đảo của nhau và các hệ số của chúng thuộc về $\mathfrak{o}_K$ (sử dụng Bổ đề 2).

(c) Cho $\{U, V\}$ là một tập hợp có hai phần tử và cho $H(U, V)$ là chuỗi Hausdorff. Ta viết

Khi đó $H_{\pi}(U, V) \in \hat{L}_K(\{U, V\})$.

Chứng minh rằng

Suy ra rằng $H_{\pi} \in \hat{L}_{\mathfrak{o}_K}(\{U, V\})$, tức là các hệ số của $H_{\pi}$ thuộc về $\mathfrak{o}_K$; do đó thu được một chứng minh khác của Mệnh đề 1.

(d) Cho $\tilde{e}_{\pi}$, $\tilde{l}_{\pi}$ và $\tilde{H}_{\pi}$ lần lượt là các chuỗi thu được bằng cách lấy giảm $e_{\pi}$, $l_{\pi}$ và $H_{\pi}$ modulo $\pi \mathfrak{o}_K$; các hệ số của chúng thuộc về vành $\mathfrak{o}_K/\pi \mathfrak{o}_K$.

Chứng minh rằng $\tilde{l}_{\pi}(U) = U - U^p$ (chú ý rằng $v_p(n) < (n-1)\theta$ nếu $n \neq 1,\ p$). Suy ra rằng

và rằng

hoặc cũng

trong đó $\Lambda_p$ được định nghĩa bởi công thức

Đặc biệt, $\tilde{H}_{\pi}(U, V)$ thuộc về $\hat{L}_{\mathbf{F}_p}(\{U, V\})$ và thành phần thuần nhất của nó có bậc $p$ là $-\Lambda_p(U, V)$. Khi đó

trong đó $W$ là một bất định thứ ba.

(e) Cho $C(U, V) = H(-U, H(-V, H(U, V)))$ ("giao hoán tử Hausdorff"). Khi đó $\exp(C(U, V)) = \exp(-U) \exp(-V) \exp(U) \exp(V)$. Ta viết

Chứng minh rằng các hệ số của $C_{\pi}(U, V)$ thuộc về $\pi \mathfrak{o}_K$ (sử dụng sự kiện rằng $\tilde{H}_{\pi}(U, V) = \tilde{H}_{\pi}(V, U)$).†