书库 / 李群与李代数 / 章 II
Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。
附录
莫比乌斯函数
令 n 为整数 ≥ 1 \geq 1 ≥ 1 μ ( n ) = 0 \mu(n) = 0 μ ( n ) = 0 μ ( n ) = ( − 1 ) k \mu(n) = (-1)^k μ ( n ) = ( − 1 ) k μ : N ∗ → { − 1 , 0 , 1 } \mu : \mathbf{N}^* \to \{-1, 0, 1\} μ : N ∗ → { − 1 , 0 , 1 }
回想一下，给定两个整数 n 1 ≥ 1 , n 2 ≥ 1 n_1 \geq 1, n_2 \geq 1 n 1 ≥ 1 , n 2 ≥ 1 n 1 n_1 n 1 n 2 n_2 n 2 n 1 ∣ n 2 n_1 | n_2 n 1 ∣ n 2
(i) 函数 μ \mu μ N ∗ \mathbf{N}^* N ∗ Z \mathbf{Z} Z μ ( 1 ) = 1 \mu(1) = 1 μ ( 1 ) = 1
∑ d ∣ n μ ( d ) = 0
\sum_{d|n} \mu(d) = 0
d ∣ n ∑ μ ( d ) = 0 *每整数
n > 1 n > 1 n > 1 。
(ii) 令 s 和 t 为 N ∗ \mathbf{N}^* N ∗
s ( n ) = ∑ d ∣ n t ( d ) for every integer n ≥ 1 ,
s(n) = \sum_{d|n} t(d) \quad \text{for every integer } n \geq 1,
s ( n ) = d ∣ n ∑ t ( d ) for every integer n ≥ 1 , 这是必要且充分的 t ( n ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) s ( n d ) for every integer n ≥ 1.
t(n) = \sum_{d|n} \mu(d) s\left(\frac{n}{d}\right) \quad \text{for every integer } n \geq 1.
t ( n ) = d ∣ n ∑ μ ( d ) s ( d n ) for every integer n ≥ 1. (i) 中的唯一性断言是显而易见的，因为 (1) 允许我们在 n 上通过归纳确定 μ ( n ) \mu(n) μ ( n ) μ \mu μ > 1 > 1 > 1 n = ∏ p ∈ P p ν p ( n ) n = \prod_{p \in P} p^{\nu_p(n)} n = ∏ p ∈ P p ν p ( n ) μ ( d ) = 0 \mu(d) = 0 μ ( d ) = 0 ∏ p ∈ H p \prod_{p \in H} p ∏ p ∈ H p
∑ d ∣ n μ ( d ) = ∑ H ⊂ P ( − 1 ) C a r d H = ∑ k = 0 C a r d P ( n k ) ( − 1 ) k = ( 1 − 1 ) C a r d P = 0.
\sum_{d|n} \mu(d) = \sum_{H \subset P} (-1)^{\mathrm{Card}\ H}
= \sum_{k=0}^{\mathrm{Card}\ P} \binom{n}{k} (-1)^k = (1 - 1)^{\mathrm{Card}\ P} = 0.
d ∣ n ∑ μ ( d ) = H ⊂ P ∑ ( − 1 ) Card H = k = 0 ∑ Card P ( k n ) ( − 1 ) k = ( 1 − 1 ) Card P = 0. 设 s 和 t 是 N ∗ \mathbf{N}^* N ∗ n ∈ N ∗ n \in \mathbf{N}^* n ∈ N ∗
∑ d ∣ n μ ( d ) s ( n d ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) ∑ δ ∣ ( n / d ) t ( δ ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) t ( δ )
\sum_{d|n} \mu(d)s\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n} \mu(d) \sum_{\delta|(n/d)} t(\delta) = \sum_{d|n} \mu(d)t(\delta)
d ∣ n ∑ μ ( d ) s ( d n ) = d ∣ n ∑ μ ( d ) δ ∣ ( n / d ) ∑ t ( δ ) = d ∣ n ∑ μ ( d ) t ( δ ) = ∑ δ ∣ n t ( δ ) ∑ d ∣ ( n / δ ) μ ( d ) = t ( n ) .
= \sum_{\delta|n} t(\delta) \sum_{d|(n/\delta)} \mu(d) = t(n).
= δ ∣ n ∑ t ( δ ) d ∣ ( n / δ ) ∑ μ ( d ) = t ( n ) . 反之，如果(3)成立，则
∑ d ∣ n t ( d ) = ∑ d ∣ n ∑ δ ∣ d μ ( δ ) s ( d δ ) = ∑ d ∣ n s ( d ) ∑ δ ∣ ( n / d ) μ ( δ ) = s ( n ) ,
\sum_{d|n} t(d) = \sum_{d|n} \sum_{\delta|d} \mu(\delta)s\left(\frac{d}{\delta}\right) = \sum_{d|n} s(d) \sum_{\delta|(n/d)} \mu(\delta) = s(n),
d ∣ n ∑ t ( d ) = d ∣ n ∑ δ ∣ d ∑ μ ( δ ) s ( δ d ) = d ∣ n ∑ s ( d ) δ ∣ ( n / d ) ∑ μ ( δ ) = s ( n ) , 完成证明。
公式 (3) 称为莫比乌斯反演公式。
习题
参见习题附录 0 。
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