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章 III

李群

在整个章中，K表示实数的值域$\mathbf{R}$，或复数的值域$\mathbf{C}$，或非离散完全超度量交换域。 我们假设从§ 4开始K的特征为0，§ 6中的$K = \mathbf{R}$或$\mathbf{C}$，§ 7中的K是超度量的。 另外提及除非，考虑的所有流形、所有代数和所有向量空间都超过K。 回想一下，当我们谈到类$C^r, r \in \mathbf{N}_K$的流形时，如果$K \neq \mathbf{R}$则为$r = \omega$，如果$K = \mathbf{R}$则为$1 \leq r \leq \omega$。

范数、规范化空间和规范化空间的约定是可微分和解析流形、R 的约定。

回想一下，K 上的可规范代数是 K 上的（不一定是结合的）代数 A，其中拓扑 $\mathscr{T}$ 具有以下属性： (1) $\mathscr{T}$可由范数定义； (2) A 中$A \times A$ 的映射 $(x, y) \mapsto xy$ 是连续的。

A 的双连续自同构的群表示为Aut(A)。 K 上的每个有限维代数都是可规范的代数以及规范的拓扑。 K 上的标准化代数是 K 上的代数 A 和范数，使得对于 A 中的所有 $x, y$ 都有 $\|xy\| \leq \|x\|\|y\|$；由这个范数定义的代数A与拓扑是可规范的代数。如果 A 是规范的代数，则 A 上存在范数定义其拓扑并使 A 成为规范的代数。

如果 G 是群、$e_G$，或简单地为 e，则表示 G 的单位元素。对于 $g \in G$、$\gamma(g)$、$\delta(g)$ 和 Int(g)，表示将 G 的映射、$g' \mapsto gg'$、$g' \mapsto g'g^{-1}$ 和 $g' \mapsto gg'g^{-1}$ 代入 G。 $f$是G到集合E的映射，$\dot{f}$表示G到E的映射$g \mapsto f(g^{-1})$。