可以假设$\phi(e) = 0$。让$U' = \phi(U)$。令$\psi : U' \to U$为$\phi$的逆映射。令V是e的对称开邻域，使得$V^2 \subset U$并令$V' = \phi(V)$。我们将$V' \times V'$中的定义映射$\theta_1, \theta_2$转换为$V' \times U'$如下：

立即验证$\theta_2(\theta_1(x, y)) = \theta_1(\theta_2(x, y)) = (x, y)$对于$x, y$足够接近0。另一方面，$\theta_1$和$\theta_2$是解析的，因此在$(0, 0)$处严格可微。因此（*可微分和解析流形*，R，1.2.2）$V'$中存在0的邻域$W'$和常数$a > 0, b > 0$使得

对于$W'$中的所有$x_1, x_2, y_1, y_2$。写$x_1 = x_2 = y_2$，我们得到

对于$\delta > 0$，令$N_\delta$为有序对$(x, y) \in W' \times W'$的集合，使得$\| x - y \| \leq \delta$。 $N_\delta$形式是$W'$中随行人员的基本系统。我们写$W = \psi(W')$。令$M_\delta$为有序对$(u, v) \in W \times W$的集合，使得$\| \phi(uv^{-1}) \| \leq \delta$。 $M_\delta$形式是$W$中随行人员的基本系统，配有正确的制服结构。但关系(2)证明了

因此 $W$ 的性质为引理。

由于 $e$ 承认一个开邻域同胚于一个范数空间的开球，$e$ 承认邻域的一个可数基本系统，其交是 $\{e\}$。因此 $G$ 是可度量的（*一般拓扑*、章 III, § 1，命题 2 和章 IX, § 3、命题 1 的推论）。到引理 1，存在$e$的邻域，它在正确的制服结构下是完整的，因此$G$是完整的（*一般拓扑*，章III, § 3，命题4）。

设$U$为$e$的邻域。存在包含在$U$中的$e$的开邻域$U_1$，并且同胚于$K$上的范数空间$E$的开球。若$K = \mathbf{R}$或$\mathbf{C}$，$U_1$连通，则证明(i)。假设 $K$ 是超度量的。存在 $e$ 的邻域 $U_2$，其在$G$ 中闭合，因此$U_2 \subset U_1$。那么$e$存在邻域$U_3$，使得$U_3 \subset U_2$和$U_3$相对于$U_1$开闭。那么$U_3$相对于$U_2$闭合，因此$G$相对于$U_1$开，因此$G$。这就证明了(ii)。为了使$G$局部紧致，$E$局部紧致是充分必要的；如果 $K$ 是局部紧致的，则相当于说，$E$ 是有限维的（*拓扑向量空间*、章 I, § 2、定理 3）、从而 (iii)。假设$G$是由子集$V$生成的，令$W = V \cup V^{-1}$；然后

如果$V$中存在序列稠密，我们看到G中存在序列稠密，并且由于G是可度量的（命题1），G上的拓扑承认可数基。

那么在 V 和流形 W 中存在 e 的开邻域 W 和自同构 θ，使得 θ(e) = e, θ(θ(x)) = x 且 m(x, θ(x)) = m(θ(x), x) = e 对于所有 x ∈ W。

m(e, y) = y 对于所有 y ∈ U，因此，通过隐式函数定理，在 V 中存在 e 的开邻域 W_1 和 W_1 的类 C^r 到 V 的映射 θ_1，使得对于所有 x ∈ W_1，θ_1(e) = e, m(x, θ_1(x)) = e。类似地，存在V中e的开邻域W_2和W_2的类C^r到V的映射θ_2，使得θ_2(e) = e, m(θ_2(x), x) = e，对于所有x ∈ W_2。对于 x ∈ W_1 ∩ W_2，

令 θ(x) 为 θ_1(x) 和 θ_2(x) 的公共的值，其中 x ∈ W_1 ∩ W_2。令 W 为 x ∈ W_1 ∩ W_2 的集合，使得 θ(x) ∈ W_1 ∩ W_2。 集合W 已打开。对于 x ∈ W，

因此 θ(x) ∈ W。我们看到 θ | W 定义自同构流形 W。

到引理 2，G 是单位元素的邻域。对于所有 g ∈ G，映射 x ↦ m(g, x) 是流形 X 的自同构。因此在映射下G的像是g的邻域，显然包含在G中。因此G在X中开。显然条件 (GL_1) 和 (GL_2) 成立。 条件 (GL_3) 满足引理 2。

例 / 李群

(1) 令 E 为 K 上的完全可范空间。 E × E 的映射 (x, y) ↦ x − y 到 E 中是连续且线性的，因此是解析的。

因此，E 及其加法群和解析流形结构，为李群。

特别地，K是李群。

(2) 设 A 是 K 上的完全规范单位结合律代数。 $A \times A$ 的乘法 $(x, y) \mapsto xy$ 到 A 是双线性且连续的，因此是解析的。 命题 3 表明 A 的可逆元的群 $A^*$ 在 A 中是开集（这也是从 General 拓扑、章 IX, § 3、命题 13 得出），并且 $A^*$ 是李群。

对于例，令 E 为 K 上的完全可范化空间，并令 $A = \mathscr{L}(E)$（*一般拓扑*、章 IX, § 3、命题 5）。那么 $A^*$ 就是 E 的自同构群 $\mathbf{GL}(E)$。 因此，这个群在 K 上具有规范的李群结构。更具体地，$\mathbf{GL}(n, K)$与由$\mathbf{M}_n(K)$上的流形结构诱发的李群。对于 $n = 1$，我们看到乘法群 $K^*$ 是李群以及由 K 上的流形结构引起的。

(3) 令G在K上李群。令$K' = \mathbf{R}$或$\mathbf{C}$或值域$K'$的非离散完全超度量域和$\sigma$同构到K的值子域上。则群 G，以及通过标量限制获得的 $K'$ 流形结构，在 $K'$ 上是李群，据说是*通过标量限制从李群 G 导出的*（从 K 到 $K'$ 通过$\sigma$）。对于例，每个复数李群都具有规范的实李群结构。同样，每个复数李群 G 都与一个复数李群相关联，称为 G 的 共轭，它是通过 $\mathbf{C}$ 的自同构 $z \mapsto \overline{z}$ 衍生自 G。

条件显然是必要的。假设它成立。对于所有$x_0 \in G$，$f(x_0x) = f(x_0)f(x)$对于所有$x \in U$，因此$f|_{x_0U}$是解析的。但是集合$x_0U$，其中$x_0 \in G$，形式是G的开覆盖。

由可微分和解析流形，R，5.8.3，H 是局部闭的。因此 H 是闭的（通则拓扑、章 III, § 2、命题 4）。 断言 (ii) 是显而易见的。 断言 (iii) 由可微分和解析流形, R, 5.8.5 得出。

条件显然是必要的。假设它成立。对于所有 h' ∈ H，平移 γ(h'h^{-1}) 是流形 G 的自同构和映射 U 的子流形 H ∩ U 到 h'h^{-1}U 的子流形 (h'h^{-1}H) ∩ (h'h^{-1}U)。由于 h'h^{-1}H = H 且 h'h^{-1}U 是 G 中 h' 的开邻域，我们看到 H 的每个点都有一个开邻域 V，使得 V ∩ H 是 G 的子流形。因此 H 是 G 的子流形。

设 G 是李群，H 是 G 的谎言子群。如果 L 是 H 的谎言子群，则通过可微分和解析流形，R，5.8.6，L 是 G 的谎言子群。设M是G的谎言子群，使得M⊂H。那么M是H的谎言子群，因为M到H的典范嵌入显然是浸没。

令 k 为 K 的非离散闭子域。G 的李 k 子群是 G 的底层李 k 群的李子群。

对于$L$中的$l, l'$和$M$中的$m, m'$，

从而命题。

如果命题 7 的条件成立，李群 $S$ 被称为* $L$ 通过 $M$ 相对于 $\sigma$ 的 (外部) *半直接乘积李群。

显然，$L$（或$M$）的典范嵌入到$S$是$L$（或$M$）的同构到$S$的谎言子群，我们用认同和$L$ （分别$M$）。 $S$到$L$的典范映射是李群态射。

相反，令$G$为李群和$L$，$M$两个谎言子群，使得群$G$（代数上）是$L$乘$M$的半直接乘积 （*代数*、章I, § 6, no. 1）。 我们将$l \in L$和$m \in M$写为$\sigma(l)m = lml^{-1}$。 那么$\sigma$满足命题7中的条件。 We can therefore form the semi-direct product Lie group $S$ of $L$ by $M$ relative to $\sigma$. $S$到$G$的映射$j: (m, l) \mapsto ml$是群同构并且是解析的。 如果$j$是李群同构，则*李群*$G$*被称为*$L$*的半直接乘积*通过*$M$*和*$S$*和*$G$*进行识别*。 对于所有$g \in G$，我们写为$g = p(g)q(g)$，其中$p(g) \in M$和$q(g) \in L$。 为了使李群$G$成为$L$乘$M$的半直接乘积，映射$p: G \to M$和$q: G \to L$之一是解析的是必要且充分的，在这种情况下两者都是解析的；或者，$T_e(G)$是$T_e(M)$和$T_e(L)$的拓扑直和是必要且充分的（因为，如果条件成立，$j$在$e_S$处是étale）。

$T_e(p) \circ T_e(s) = \mathrm{id}_{T_{e(H)}}$，因此$p$（或$s$）是浸没（或浸没）。通过 可微分和解析流形，R，5.10.5，N 是 G 的谎言子群。另一方面，$s$ 是 H 到 $s(H)$ 的同胚，因此 $s$ 是 H 的同构到 G 的谎言子群 （*可微分和解析流形*，R，5.8.3）。最后，对于所有$g \in G$，$g = (s \circ p)(g) \cdot n$对于某些$n \in N$；由于 $s \circ p$ 是解析的，李群 G 是 $s(H)$ 通过 N 的半直接乘积。

(i) 如果$\rho(x)$是$g_0$的浸没（分别是浸没、浸没），那么对于所有$g \in G$，$\rho(gx)$是浸没（分别是浸没、浸没）。

(ii) 如果 $\rho(x)$ 在 $g_0$ 处具有秩 k，则对于所有 $g \in G$，$\rho(gx)$ 的常数秩等于 k。

由于 $T_g(\delta(g)), T_x(\tau(g))$ 和 $T_g(\gamma(g^{-1}))$ 是同构，因此这紧随公式 (4) 和 (5)。

这是从命题 9 和*可微分和解析流形*，R，5.10.6 得出的。

观察到，如果 $\eta$ 表示 $G \times X$ 的映射 $(g, x) \mapsto gx$ 到 X，那么，对于 $g \in G, x \in X, u \in T_g(G), v \in T_x(X)$，

那就是

(a) 群G在X上正常且自由地运行；

(b) 对于所有 $x \in X$，$\rho(x)$ 是浸没（如果 K 具有特征 0 并且 X 是有限维，则为 (a) 的推论）。

那么 G 在 X 上定义的等价关系是正则的（可微且解析流形，R，5.9.5）。 商集 X/G 上存在且仅有一个流形结构，使得典范映射 $\pi : X \to X/G$ 是淹没。这个流形结构的基础拓扑是X的商拓扑；这是豪斯多夫。最后，$(X, G, X/G, \pi)$是主左纤维束。\脚注{†可微分和解析流形，R，6.2.1中定义的主纤维束是主右纤维束。主左纤维束的定义可以由此以明显的方式推导出来。}

设$\theta$为$G \times X$的映射$(g, x) \mapsto (x, gx)$到$X \times X$。这个映射是类$C^\tau$。我们证明这是一种沉浸。对于 $u \in T_g(G)$ 和 $v \in T_x(X)$，通过 (6)，

但 $T_g(\rho(x))$ 是假设 (b) 的单射，因此 $T_{(g, x)}(\theta)$ 是单射的。它的像是$v \in T_x(X)$和子空间的向量$(v, T_x(\tau(g))v)$的子空间$H_{g, x}$由……组成的拓扑直和

到假设(b)，$T_g(\rho(x))(T_g(G))$在$T_{gx}(X)$中承认拓扑补充$J_{g, x}$。因此，$T_{(g, x)}(\theta)$的像承认拓扑补充$\{0\} \times J_{g, x}$。因此我们证明了$\theta$是$G \times X$在$X \times X$的浸没。

由于 G 在 X 上自由运行，$\theta$ 是单射的。令C为G在X上定义的等价关系R的图。当 G 正确运行时，$\theta$ 是$G \times X$ 到C 的同胚（一般拓扑、章 I, § 10、命题 2）。通过可微分和解析流形，R，5.8.3，它是$X \times X$的子流形，$\theta$是流形$G \times X$到流形C的同构。切线空间 $T_{(x, gx)}(C)$ 标识为

令 pr$_1$ 和 pr$_2$ 为$X \times X$到两个因子的规范投影。 $T_{(x, gx)}(\mathrm{pr}_1)$映射$H_{g, x}$到$T_x(X)$是直接的，$T_{(x, gx)}(\mathrm{pr}_1) | T_{(x, gx)}(C)$的核是$I_{g, x}$。因此，$\mathrm{pr}_1 | C$ 是C 淹没在X 上。由可微分和解析流形，R，5.9.5，R 是正则的。因此，到定义时，商集X/G上存在且仅一个流形结构，使得$\pi$是淹没。 X/G 的基础拓扑是X 的商拓扑（可微分和解析流形，R，5.9.4）。这个拓扑是Hausdorff（一般拓扑、章III, § 4、命题3）。

对于所有 $b \in X/G$，存在 b 的开邻域 W 和态射 $\sigma : W \to X$，使得 $\pi \circ \sigma = \mathrm{id}_W$（可微分和解析流形，R，5.9.1）。令$\phi$为$G \times W$的双射$(g, w) \mapsto g\sigma(w)$到$\pi^{-1}(W)$。它是类$C^\tau$。然后 $\pi(g\sigma(w)) = w$ 和

因此，$\phi$的逆双射等于类$C^r$。显然 $\phi(gg', w) = g\phi(g', w)$ 对应 $w \in W,\ g \in G,\ g' \in G$。因此 $(X, G, X/G, \pi)$ 是主左纤维丛。

(i) 在齐次集合$X/G$上存在且仅有一个解析流形结构，使得$X$到$X/G$的规范投影$\pi$是淹没。 $X/G$上$X$运算律解析。对于所有$x \in X$，$T_x(\pi)$的核是通过$T_e(\gamma(x))$从$T_e(G)$获得的。

(ii) 如果$G$在$X$中正常，则$X/G$是李群，其群结构和流形结构在(i)中定义。 映射$\pi$是李群态射。

通过*通用拓扑*、章III, § 4, no. 1、*例1*、$G$通过正确的翻译在$X$上正确且自由地运行。因此 (i) 的第一个断言由

命题 10 个，共 no. 5。第二个来自 no. 5 的注。由于 $\pi$ 是淹没，$T_x(\pi)$ 的核是 $x$ 处的切线空间

因此由$T_e(G)$通过$T_e(\gamma(x))$获得。

假设$G$是正规的。设 $m$ 为 $(X/G) \times (X/G)$ 的映射 $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ 到 $X/G$。然后$(m \circ (\pi \times \pi))(x, y) = \pi(xy^{-1})$对于$X$中的所有$x, y$。因此 $m \circ (\pi \times \pi)$ 是解析的。由于 $\pi \times \pi$ 是满射淹没，$m$ 是解析的（可微分和解析流形，R. 5.9.5），从而 (ii)。

(i) 中定义的齐次集合 $X/G$ 与流形结构称为 $X$ 与 $G$ 的商（左）李齐次空间。 （右）李齐次空间 $G \setminus X$ 的定义类似。当$G$正常时，(ii)中定义的李群$X/G$称为$X$除以$G$的商李群。

由于$X$到$X/X_y$的典范映射是浸没，因此等价 (i) $\Leftrightarrow$ (ii)、(i') $\Leftrightarrow$ (ii') 是直接的。 (i) $\Leftrightarrow$ (i') by 命题 9 of no. 5。 等价 (i') $\Leftrightarrow$ (iii) 由no. 5 的公式 (7) 得出。

在命题 12 的条件下，$Y$ 称为$X$ 的（左）李齐次空间。 $X$ 的右李齐次空间类似地定义。

(i) $X$上$H$的左运算$(h, x) \mapsto hx$的律满足命题10的条件(a)和(b)（这样我们就可以考虑流形$X/G$和$X/H$的商）。

(ii) $X$定义上$G$左运算律取$X/H$上$G/H$类$C^r$左运算的商律；这个律满足命题10的条件(a)和(b)（这样我们就可以考虑商流形$(X/H)/(G/H)$）。

(iii) 将$X$的典范映射代入$X/H$定义，将$X/G$的商双射代入$(X/H)/(G/H)$。这个双射是类$C^r$流形同构。

显然$H$在$X$上自由运行；它通过*一般拓扑*，章III, § 4, no. 1，*例*正常运行。 1. $X$上$H$的轨道映射是浸没，因为$H$的典范嵌入到$G$是浸没。这就证明了(i)。

$X$上$G$左运算律显然是定义，在求商上，$X/H$上$G/H$左运算律。这个律是类$C^r$的*可微分和解析流形*，R，5.9.6。设$g \in G$和$x \in X$使得$(Hg)(Hx) = Hx$；然后$H(gx) = Hx$，因此$gx \in Hx$和$g \in H$；这证明了$G/H$可以在$X/H$上自由运行。 $G \times X$到$X \times X$的映射$\theta : (g, x) \mapsto (x, gx)$已关闭；另一方面，$\theta(Hg \times Hx) = Hx \times H(gx)$；紧接着映射

$(G/H) \times (X/H)$ 到 $(X/H) \times (X/H)$ 是闭合的；而且$G/H$可以在$X/H$上自由运行，定理*一般拓扑*的1(c)，章I, § 10, no. 2证明$G/H$可以在$X/H$上正常运行。

设$\pi$是$X$的典范映射到$X/H$，$G$的$\sigma$典范映射到$G/H$，$X$和$y = \pi(x)$的$x$元素。

然后 $\pi \circ \rho(x) = \rho(y) \circ \sigma$ 因此

设$u \in T_e(G/H)$使得$T_e(\rho(y))u = 0$。存在$v \in T_e(G)$使得$u = T_e(\sigma)v$。那么$T_x(\pi)(T_e(\rho(x))v) = 0$，因此$T_e(\rho(x))v$与$Hx$相切（*可微且解析流形*，R，5.10.5），因此对于某些$v' \in T_e(H)$来说，形式$T_e(\rho(x) | H)v'$。由于$T_e(\rho(x))$是单射的，因此有$v = v'$、从而$v \in T_e(H)$，因此$u = 0$。因此 $T_e(\rho(y))$ 是单射的。 $T_e(\rho(y))$的像等于$T_x(\pi) \circ T_e(\rho(x))$；现在$T_e(\rho(x))$的像在$T_x(X)$和$T_x(\pi)$的包含核承认拓扑补充。因此可见$\rho(y)$是沉浸，它完成了(ii)的证明。

断言 (iii) 由上述和可微分和解析流形, R, 5.9.7 得出。