$\rho$因式分解为$K \times X \to K \times X \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} X$，其中$\alpha(s, x) = (s, s.x)$。 $\alpha$ 是同胚，因为 $\alpha^{-1} : (s, y) \to (s, s^{-1}.y)$ 是连续的。由于 K 是拟紧的，$\mathrm{pr}_2$ 是适当的（章 I, § 10, no. 2，定理 1，推论 5）；因此$\rho$是正确的（章I, § 10, no. 1，命题5）。

关于闭集合的断言由命题 1 得出，并且真映射是闭的（章 I, § 10, no. 1，命题 1）。 断言关于紧集是微不足道的。

需要注意的是，如果L是X的紧子集，并且F是G的闭子集，那么F.L不一定在X中闭（$§ 2$，习题29；cf.no. 5，推论命题12）。

第一个断言由应用于 G 的推论 1 通过对其自身进行右平移而得出，第二个断言则由章 I, , no. 2, 定理 1 得出

由于 x⁻1y ∈ K 是闭等价关系（推论 2），因此推论由章 I, § 5, no. 2、命题 4 得出。

a) K 在X 上正常运行。 b) 将K × X 映射 (s, x) → s.x 化为X 是正确的。 c) X 的典范映射到 X/K 上是合适的。

b) 是命题 1 的推论。对于 a)，由于 K 是紧的，所以 pr2 : (s, x) → x 是正确的（章 I, § 10, no. 2，定理 1，推论 5）；因此，X是Hausdorff，(s, x) → (x, s.x)是正确的（章I, § 10, no. 1，命题5，推论3）。仍有待证明c）。由推论 1 到命题 1，典范映射 φ : X → X/K 是闭合的。如果 Z 是任意拓扑空间并且我们让 K 在 Z 上进行平凡运算，则 K 在 X × Z 上连续运算，因此典范映射 X × Z → (X × Z)/K 是闭合的。但是 (X × Z)/K 可以被规范地等同于 (X/K) × Z (§ 2, no. 4, 引理 2 和章 I, § 5, no. 3, 命题 8)；因此典范映射 X × Z → (X × Z)/K 可以等同于 φ × 1，并且由于它对于所有 Z 都是封闭的，因此 φ 是正确的。

这是因为，鉴于章 I, § 10, no. 4 的命题 9，典范映射 X → X/K 是正确的。

通过右平移将推论 1 应用于 G 上的 K 运算。

设$C \subset X \times X$为$G$在$X$上定义的等价关系$R$的图；那么$C$是映射$\theta : (s, x) \to (x, s.x)$下$G \times X$的像。由于 $\theta$ 是正确的，$C$ 在 $X \times X$ 中闭合（章 I, § 10, no. 1，命题 1）。由于关系 $R$ 是开集 ($§ 2$, no. 4, 引理 2)，因此 $X/G$ 是 Hausdorff (章 I, § 8, no. 3, 命题 8)。

现在假设 $G$ 是 Hausdorff。那么$X$的映射$x \to (e, x)$到$G \times X$是$X$到$G \times X$的闭子空间的同胚，因此是正确的（章I, § 10, no. 1，命题2）。如果我们将这个映射与$G \times X$的映射$(s, x) \to (x, s.x)$组合成$X \times X$，其中假设是正确的，我们得到$X$的真映射到$X \times X$，即对角线映射 $x \to (x, x)$。因此，$X \times X$的对角线$\Delta$在$X$中闭合，因此$X$是Hausdorff。

a) 映射 $s \to s.x$ 属于 $G$ 进入 $X$ 是正确的。

b) $K_x$ 是准紧凑。

c) 典范映射 of $G/K_x$ 到 $G.x$ 是同胚。

d) 轨道 $G.x$ 于 $X$ 关闭。

$\theta : (s, x) \to (x, s.x)$下$\{ x \} \times X$的逆像为$G \times \{ x \}$；因此，通过章I, § 10, no. 1的命题 3，$\theta$到$G \times \{ x \}$的限制是$G \times \{ x \}$到$\{ x \} \times X$的真映射，从而如下：由于$K_x$是$s \to s.x$下$x$的逆像，b)由章I, § 10, no. 2、定理1得出。c)和d)是a)的推论，根据章 I, § 10, no. 1、命题 2 和 5 b)。

(ii) 如果$\varphi$是正确的，如果$G'$在$X'$上正确运行，并且如果$X$是Hausdorff，那么$G$在$X$上正确运行。

为了证明 (i)，考虑交换律图表

其中 $\alpha = \varphi \times \psi$ 和 $\beta = \psi \times \psi$。 假设时，$\theta$为宜； $\beta$ [章 I, § 10, no. 1, 命题 4 a)]；因此 $\beta \circ \theta = \theta' \circ \alpha$ 是正确的 [章 I, § 10, no. 1, 命题 5 a)]。由于 $\alpha$ 是满射，因此 $\theta'$ 是正确的 [章 I, § 10, no. 1, 命题 5 b)]。

为了证明 (ii) 考虑在 $G \times X$ 上使用超滤器 $U$，使得映射

相对于$U$分别收敛到$y_0$和$x_0$。由此可知$(s, x) \to \varphi(s).\psi(x)$和$(s, x) \to \psi(x)$相对于$U$收敛。由于$G'$在$X'$上正确运行，这意味着（no. 1）$(s, x) \to \varphi(s)$相对于$U$收敛到点$s'_0 \in G'$。由于$\varphi$是正确的，我们推断(章I, § 10, no. 2,定理1)$(s, x) \to s$相对于$U$收敛到点$s_0 \in G$。 $X$中极限的唯一性则显示$y_0 = s_0 x_0$，因此$G$在$X$（no. 1）上正常运行。

(FP) 由$G$定义的等价关系的图$C$在$X \times X$中是封闭的，并且典范映射$\varphi : C \to G$是连续的。

集合$C$是$G \times X$的映射$\theta : (s, x) \to (x, s.x)$到$X \times X$的像。 我们知道 (章 I, § 10, no. 1, 命题 2) $\theta$ 是正确的当且仅当 $C$ 在 $X \times X$ 内闭，且（如果 $\theta'$ 表示映射 $\theta$ 被视为 $G \times X$ 的映射） $C$) $\theta'$ 是同胚。 现在假设意味着$\theta'$是双射并且它的逆是映射$(x, y) \to (\varphi(x, y), x)$。 因此，当且仅当$\varphi$连续时，$\theta'$是同胚。

令$F$为将点在无穷远$\omega$与$G$邻接而获得的紧空间，令$\Gamma$为$\rho : (s, x) \to s.x$视为$F \times X \times X$的子集的图。让我们证明，如果 $\mathrm{pr}_{23}$ 到 $\Gamma$ 的限制是正确的，那么 $\Gamma$ 闭于 $F \times X \times X$。事实上，这个假设意味着$F \times \Gamma$到$F \times X \times X$的映射$u : (t, s, x, y) \to (t, x, y)$是封闭的。如果$\Gamma'$是$F \times G$中点$(s, s)$的集合，其中$s \in G$，则$\Gamma'$在$F \times G$中闭合，因为它是典范嵌入$G \to F$ (章) I, § 8, no. 1，推论2至命题2)；因此交$(\Gamma' \times X \times X) \cap (F \times \Gamma)$在$F \times \Gamma$关闭，立即可见其$u$下的像为集合$\Gamma$视为$F \times X \times X$的子集；因此$\Gamma$在$F \times X \times X$关闭。现在，我们有$(\{\omega\} \times X \times X) \cap \Gamma = \emptyset$。因此，从 $F$ 的定义开始，对于每个点 $(x, y) \in X \times X$，$X \times X$ 中存在 $(x, y)$ 的邻域 $W$ 以及 $G$ 的紧凑子集 $K$，使得

是空的；因为我们可以将$W$视为邻域$V_x \times V_y$，其中$V_x$和$V_y$分别是$X$、叙述中$x$和$y$的邻域“((G — K) × W) ∩ Γ = ∅”变为“如果 s ∉ K，则 s · V_x ∩ V_y = ∅”。这样我们就证明了命题中所说的条件的必要性。反之，假设满足这个条件；令A经超滤器$\mathfrak{F}$过滤为集合，并令α → (s_α, x_α)为A的映射进入G × X，使得lim_$\mathfrak{F}$ x_α = x且lim_$\mathfrak{F}$ s_α · x_α = y。假设 K、V_x 和 V_y 满足条件命题。到假设时，有集合 M ∈ $\mathfrak{F}$，如果 α ∈ M 则 x_α ∈ V_x 且 s_α · x_α ∈ V_y，因此 s_α ∈ K。这表明 α → s_α 相对于 $\mathfrak{F}$ 收敛，证明是完备的。

如果 G 是紧致的，则命题 7 的条件基本满足；因此我们检索命题 2 a)。

命题 7 特别表明，在 Hausdorff 空间 X 上连续运行的离散群 G，当且仅当对于 X 的点的每个对 (x, y)，存在 x 的邻域 V_x 时，才能在 X 上正确运行和 y 的邻域 V_y，使得点 s ∈ G 的集合，其中 s · V_x ∩ V_y ≠ ∅ 是有限的。

a) 子群 K_x 是有限的，并且存在一个开集合 U ⊂ X、包含 x，在 K_x 下稳定，并且在其上由 G 定义的关系诱发的等价关系是由 K_x 定义的等价关系。

b) 典范映射 U/K_x → X/G 是 U/K_x 到 X/G 中 x 的类的开邻域的同胚。

到命题7，K_x 是有限的。对于满足所需条件的构造开集合 U，首先请注意，到命题 7 时，存在一个开集合 U_0 包含 x，并且使得 s ∈ G 的集合 K，其中 s · U_0 ∩ U_0 ≠ ∅ 是有限的。显然 K_x ⊂ K；令 s_1, ..., s_n 为 K — K_x 的元素。如果我们设 x_i = s_i · x (1 ≤ i ≤ n)，则对于每个 i，x_i ≠ x；由于 X 是 Hausdorff，因此对于每个指标 i，存在 x 的开邻域 V_i 和 s_i · x 的开邻域 V'_i，使得 V_i ∩ V'_i = ∅。设 U_i = V_i ∩ s_i^{-1} · V'_i；则 U_i 显然开且包含 x，并且我们有 U_i ∩ s_i · U_i ⊂ V_i ∩ V'_i = ∅。设 U' = U_0 ∩ U_1 ∩ ... ∩ U_n； U' 是开集，包含 x，且对于 s ∉ K_x，U' ∩ s · U' = ∅。将 U = ⋂_{t ∈ K_x} t · U' 我们最终得到一个开集合，在 K_x、包含 x 下稳定，并且使得 U ∩ s · U = ∅ 对于 s ∉ K_x：U 是所需的开集合。

事实上，典范映射 U/K_x → X/G 是 U/K_x 到 X/G 中的开集合的同胚，从章 I, § 5, no. 2、命题 4 得出，因为 U 是开路且 G 定义的等价关系是开路（§ 2, no. 4，引理2）。

由于$G$定义的$X$上的等价关系是开路（$§ 2$、no. 4、引理 2），命题由章、I、$§ 10$、no. 4、命题得出10.

由于$G$定义的等价关系是开路（$§ 2$、no. 4、引理2），命题是章I、$§ 10$、no. 4的命题10的特例。

由假设、$G \times X$的映射$\theta : (s, x) \to (x, s.x)$变为$X \times X$为宜；如果 $X \times X$ 是紧致的（或局部紧致），则章 I、$§ 10$、no. 4 的命题 9 的推论表明 $G \times X$ 也是紧致的（或局部紧致），因此从 $X \neq \emptyset$ 开始，$G$ 也是紧致的。 由于 $X/G$ 是 Hausdorff (no. 2, 命题 3)，$X$ 的紧致性（或局部紧致性）意味着 $X/G$ 的紧致性（或局部紧致性）[章 I, $§ 10$, no. 4, 命题 8（分别为命题 9）]（参见$§ 2$、习题 29）。

现在我们给出判据，它允许我们断言豪斯多夫拓扑群$G$在局部紧致空间$X$上正确运行。对于子集 $K, L$ $X$ 中的每个对，我们用所有 $s \in G$ 中的 $P(K, L)$ 集合表示，使得$s.K \cap L \neq \emptyset$。

b) 如果 G 在 X 上正确运行并且 L 是紧的，则 P(K, L) 是紧的。

c) 相反，如果 X 是局部紧致的，并且对于 X 的紧致子集的每个对 K、L，P(K, L) 在 G 中相对紧致 [因此通过 a) 紧致]；那么 G 在 X 上正确运行（如果 X 不为空，则 G 被命题 11 局部压缩）。

$G \times K$的映射$(s, x) \to s.x$到$X$是连续的，因此在这个映射下的$L$的逆像$L'$是封闭的。由于$K$是紧的，所以投影$\operatorname{pr}_1 : G \times K \to G$是正确的（章I, § 10, no. 2，定理1的推论5），$L'$在$\operatorname{pr}_1$下的像因此是闭的。这个像是$P(K, L)$，因此a)得证。

证明 b)：$X$ 是 Hausdorff (no. 2, 命题 3)。由$G \times X$的假设映射$\theta : (s, x) \to (x, s.x)$变为$X \times X$为宜；因为$K \times L$是紧的，所以$\overline{\theta}(K \times L)$也是紧的，因为$X$是Hausdorff（章I, § 10, no. 2，命题6）。因此，$\overline{\theta}(K \times L)$到$G$的投影$P(K, L)$是紧集。

证明 c)：由于 $K \times L$ 在 $X \times X$ 中闭合，因此 $\overline{\theta}(K \times L)$ 在 $P(K, L) \times K$ 中闭合，因此在 c) 的假设下是紧的。由于$X \times X$的每个紧凑子集都包含在形式$K \times L$的紧凑子集中，因此$\theta$下的$X \times X$的任何紧凑子集的逆像都是紧凑的，并且因为$X \times X$ 是局部紧致的，这表明 $\theta$ 是正确的（章 I, § 10, no. 3, 命题 7）[参见章 IV, § 1, 习题 4c)]。

a) 如果G在X上正确运行，则$\rho_K$是正确的。

b) 如果 X 是局部紧致的，并且 $\rho_K$ 对于 X 的每个紧致子集 K 是合适的，则 G 在 X 上正确运行。

映射 $\rho_K$ 因式分解为 $G \times K \xrightarrow{\theta_K} K \times X \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} X$，其中 $\theta_K$ 是 $G \times X$ 的映射 $\theta : (s, x) \to (x, s.x)$ 的限制到 $G \times K$ 到 $X \times X$。由于 $\theta^{-1}(K \times X) = G \times K$，如果 $\theta$ 是真值，则 $\theta_K$ 是真值（章 I, § 10, no. 1，命题 3）。另一方面，由于 K 是紧的，投影 $\mathrm{pr}_2 : K \times X \to X$ 是真值（章 I, § 10, no. 2，定理 1，推论 5），因此 $\rho_K$ 是真值（同上，no. 1，命题 5）。

相反，假设 $\rho_K$ 对于每个紧致 $K \subset X$ 都是合适的。如果L是X的紧致子集，则$\rho_K^{-1}(L)$是$G \times K$的紧致子集，其投影到G中是$P(K, L)$；因此 $P(K, L)$ 是紧的。因此，如果 X 是局部紧致的，则从定理 1 可以得出 G 在 X 上正确运行。

这是从命题 12 和章 I, § 10, no. 1、命题 1 得出的。

由于 $G/H$ 是 Hausdorff (§ 2, no. 5, 命题 13)，因此它是局部紧致的，通过 no. 5 的命题 9 应用于在右侧 G 上运算的 H。因此，仍然需要证明 $G/H$ 是仿紧的。令V为G中e的对称紧邻域，令$G_0 = V^\infty$为由V生成的G的子群。 $G_0$ 开放（§ 2, no. 1，命题 4 的推论）并在 $G/H$（§ 2, no. 5、命题 12）上持续运行。如果我们可以证明轨道$G_0.z \ (z \in G/H)$中的每一个都是$G/H$的开子集和紧集的可数并，那么$G/H$是不同的轨道$G_0.z$的*拓扑和*因此是仿紧的 (章 I, , no. 10, 定理 5)。 $G_0 . z$ 在 $G/H$ 中开路是因为 $G_0$ 在 $G$ 中开路并且等价关系 $x^{-1} y \in H$ 是开路（$\S 2$、no. 4、引理 2）。另一方面，$G_0 z$是集合$V^n . z$($n \geq 1$)的并，由于$V^n$在$G$中是紧的，并且$G/H$是Hausdorff，所以$V^n . z$是紧的。这样就完成了证明

$C$ 是$G$ ($§ 2$, no. 2, 命题 7) 的闭法线子群，因此$G/C$ 是局部紧致 (命题 13) 且完全不连通 (章) I、$§ 11$、no. 5、命题 9)。由于$G/C$的开子群的逆像，在$G$的典范映射到$G/C$上，是$G$包含于$C$的开子群，我们看到我们可以限制自己至证明命题群 $G/C$。在其他字中，我们可以假设$G$完全断开。然后我们知道（章II，$§ 4$，no. 4，命题6的推论），$e$包含邻域的每个紧凑邻域$V$ $e$ 中的$U$ 既是开放的又是封闭的。由于$U$是紧的并且$B = C U$是闭的，因此$e$存在对称开邻域$W$，使得$W \subset U$和$UW \cap BW = \varnothing$（$§ 3$、no. 1和章） II、$§ 4$、no. 3、命题 4) 和 更不必说 $UW \subset U$。到 $n$ 上的归纳时，每整数 $n > 0$ 就有 $W^n \subset U$。因此，由$W$生成的子群$W^\infty = \bigcup_{n > 0} W^n$包含在$U$中；但 $W^\infty$ 在 $G$ 开放（$§ 2$、no. 1，命题 4 的推论）。这样就完成了证明。

我们还证明了：

令 $C$ 为 $G$ 的恒等分量。 $G$的组成部分是集合$sC$，其中$s \in G$（$§ 2$，no. 2，命题7）； $\varphi(sC)$ 是明显相连的，因此 $\varphi(sC)$ 也是如此（章 I, $§ 11$, no. 1, 命题 1）。但是$\varphi(sC) = \varphi(sCH)$，并且由于$sCH$相对于由$H$定义的等价关系是饱和的，并且由于这个等价关系是开放的（§ 2, no. 4，引理2），所以我们有$\overline{\varphi(sCH)} = \varphi(\overline{sCH}) = \varphi(s.\overline{CH})$（章I, § 5, no. 3， 命题7)。

把$L = CH$。 $L$是$G$的闭子群，其中包含$C$和$H$；因此，要证明集合$\varphi(s.L) = s.\varphi(L)$是$G/H$的组成部分，只需证明$G/H$与等价关系的商空间（其类是集合$s.\varphi(L)$）是完全不连通的。现在这个商空间同态于齐次空间 $G/L$ (章 I, § 3, no. 4, 命题 7)；因此，我们减少到证明，当$C \subset H$时，$G/H$*完全断开连接*。由于$G/H$可以与$(G/C)/(H/C)$（§ 2, no. 7，命题22）等同，我们甚至可以假设$G$本身是完全断开的。 $G/H$ 包含邻域形式 $\varphi(V)$ 中的$\varphi(e)$的每个邻域，其中$V$是$G$中$e$的邻域，因此（推论 1）包含邻域 of 形式 $\varphi(K)$，其中 $K$ 是$G$ 的*紧凑开放* 子群。因此$\varphi(K)$在$G/H$中既开又闭，这表明$G/H$中$\varphi(e)$的分量仅由$\varphi(e)$组成。通过翻译，对于$G/H$的每一个点的分量也是如此，推论得证。