习题 14, § 6

设 $A$ 是一个紧凑的环与单位元素，完全断开 (*) 并且没有根式。那么$A$同构于有限简单环族的乘积。 [首先证明$A$具有$o$的邻域的基本系统，这是双面理想，§ 6的利用习题12 b)和§ 4的命题14。因此表明存在$A$的双边理想的最大集合$\Phi$，使得（i）每个双边理想$\mathfrak{N} \in \Phi$是$A$的最大开放双边理想； (ii) 除了 $\mathfrak{N}$ 之外，没有理想 $\mathfrak{N} \in \Phi$ 包含有限的交 $\Phi$ 理想。然后证明$A$同构于环$A/\mathfrak{N}$的乘积，因为$\mathfrak{N}$贯穿$\Phi$；首先通过利用习题 9 b)]证明所有$\mathfrak{N} \in \Phi$中的交仅由$A$中的零元素组成。