Exercice 14, § 6

Soit $A$ un anneau compact, totalement discontinu,$^1$ et sans radical. Alors $A$ est isomorphe au produit d’une famille d’anneaux simples finis. (Montrer d’abord qu’il existe dans $A$ un système fondamental de voisinages de $0$ formé d’idéaux bilatères, en utilisant l’exerc. 12 b) et la prop. 14 de III, p. 35. En déduire qu’il existe dans $A$ un ensemble maximal $\Phi$

$^1$ On peut montrer qu’un anneau compact est nécessairement totalement discontinu.

d’idéaux bilatères tels que : 1° tout idéal bilatère $\mathfrak{N} \in \Phi$ est un idéal bilatère maximal et ouvert ; 2° aucun des idéaux $\mathfrak{N} \in \Phi$ ne contient une intersection finie d’idéaux de $\Phi$ distincts de $\mathfrak{N}$. Montrer alors que $A$ est isomorphe au produit des $A/\mathfrak{N}$, où $\mathfrak{N} \in \Phi$; on prouvera d’abord que l’intersection des $\mathfrak{N} \in \Phi$ est réduite à 0 en utilisant l’exerc. 9 b) de III, p. 80).