Bài tập 14, § 6

Cho $A$ là một vành compact với một phần tử đơn vị, hoàn toàn rời rạc (*) và không có căn. Khi đó $A$ đẳng cấu với tích của một họ các vành đơn hữu hạn. [Trước hết hãy chỉ ra rằng $A$ có một hệ cơ sở các lân cận của $o$ gồm các iđêan hai phía, bằng cách sử dụng Bài tập 12 b) của § 6 và Mệnh đề 14 của § 4. Do đó hãy chỉ ra rằng có một tập hợp cực đại $\Phi$ các iđêan hai phía của $A$ sao cho (i) mọi iđêan hai phía $\mathfrak{N} \in \Phi$ là một iđêan hai phía mở cực đại của $A$; (ii) không iđêan nào $\mathfrak{N} \in \Phi$ chứa một giao hữu hạn các iđêan của $\Phi$ khác với $\mathfrak{N}$. Khi đó hãy chỉ ra rằng $A$ đẳng cấu với tích của các vành $A/\mathfrak{N}$ khi $\mathfrak{N}$ chạy qua $\Phi$; trước hết hãy chứng minh rằng giao của tất cả các $\mathfrak{N} \in \Phi$ chỉ gồm phần tử không của $A$ bằng cách sử dụng Bài tập 9 b)].