习题 6, § 4

对于每个实数 $a \geqslant 1$，将

令 $C_a$ 表示所有点 $f_a(t)$ 中的集合，因为 $t$ 穿过 $\mathbf{R}$，对于 $a \geqslant 1$ 和直线，令 $X \subset \mathbf{R}^2$ 为集合 $C_a$ 的并 $D'$ 和 $D''$，其中 $t \in \mathbf{R}$ 的 $D'$（分别为 $D''$）是点 $(t, -1)$（分别为 $(t, 1)$）的集合。

a) 群 $\mathbf{R}$ 根据律 $(s, z) \to s.z$ 在 $X$ 上运算，使得：

(i) $s.(t, -1) = (s+t, -1)$； (ii) $s.(t, 1) = (t-s, 1)$； (iii) $s.f_a(t) = f_a(s+t)$ 为 $a \geqslant 1$。

证明$\mathbf{R}$在$X$上连续运行，并且命题 4 中的四个条件满足，但$X/\mathbf{R}$不是Hausdorff。

b) 令$S$在$X$上为等价关系，如果$z \notin D' \cup D''$，则类由单个点$z$组成；如果$z \in D'$或$z \in D''$，则形式$(z, -z)$组成。令 $X'$ 为空间 $X/S$ 的商。 关系 $S$ 与$X$（$\S$ 2、no. 4）上运行的群 $\mathbf{R}$ 相容的；表明$\mathbf{R}$在$X'$上连续运行，命题4中的四个条件满足并且$X'/\mathbf{R}$是Hausdorff，但是$\mathbf{R}$在$X'$上不能正常运行。*