Exercice 6, § 4

Pour tout nombre réel $a \geqslant 1$, on pose

On désigne par $C_a$ l’ensemble des $f_a(t)$ pour $t \in \mathbf{R}$, par $E$ le sous-espace de $\mathbf{R}^2$ réunion des $C_a$ pour $a \geqslant 1$, et des droites $D', D''$, où $D'$ (resp. $D''$) est l’ensemble des points $(t, -1)$ (resp. $(t, 1)$) pour $t \in \mathbf{R}$.

a) Le groupe $\mathbf{R}$ opère dans $E$ par la loi $(s, z) \mapsto s.z$ telle que: $1^\circ \ s.(t, -1) = (s + t, -1) ; 2^\circ \ s.(t, 1) = (t - s, 1) ; 3^\circ \ s.f_a(t) = f_a(s + t)$ pour $a \geqslant 1$. Montrer que $\mathbf{R}$ opère continûment dans $E$ et que les quatre conditions de la prop. 4 (III, p. 29) sont vérifiées, mais que $E/\mathbf{R}$ n’est pas séparé.

b) Dans $E$, soit $S$ la relation d’équivalence dont les classes sont réduites à un point $z$ pour $z \notin D'$ et $z \notin D''$, et de la forme $\{z, -z\}$ pour $z \in D'$ ou $z \in D''$; soit $E'$ l’espace quotient $E/S$. La relation $S$ est compatible avec le groupe $\mathbf{R}$ opérant dans $E$ (III, p. 11); montrer que $\mathbf{R}$ opère continûment dans $E'$, que les quatre conditions de la prop. 4 (III, p. 29) sont vérifiées et que $E'/\mathbf{R}$ est séparé, mais que $\mathbf{R}$ n’opère pas proprement dans $E'$*