Bài tập 6, § 4

Với mỗi số thực $a \geqslant 1$, đặt

Gọi $C_a$ là tập hợp tất cả các điểm $f_a(t)$ khi $t$ chạy qua $\mathbf{R}$, và gọi $X \subset \mathbf{R}^2$ là hợp của các tập $C_a$ với $a \geqslant 1$ và các đường thẳng $D'$ và $D''$, trong đó $D'$ (tương ứng $D''$) là tập hợp các điểm $(t, -1)$ (tương ứng $(t, 1)$) với $t \in \mathbf{R}$.

a) Nhóm $\mathbf{R}$ tác động trên $X$ theo luật $(s, z) \to s.z$ sao cho:

(i) $s.(t, -1) = (s+t, -1)$; (ii) $s.(t, 1) = (t-s, 1)$; (iii) $s.f_a(t) = f_a(s+t)$ với $a \geqslant 1$.

Chứng minh rằng $\mathbf{R}$ tác động liên tục trên $X$ và rằng bốn điều kiện của Mệnh đề 4 được thỏa mãn, nhưng $X/\mathbf{R}$ không Hausdorff.

b) Gọi $S$ là quan hệ tương đương trên $X$ mà các lớp của nó gồm một điểm duy nhất $z$ nếu $z \notin D' \cup D''$, và có dạng $(z, -z)$ nếu $z \in D'$ hoặc $z \in D''$. Gọi $X'$ là không gian thương $X/S$. Quan hệ $S$ tương thích với nhóm $\mathbf{R}$ tác động trên $X$ ($\S$ 2, no. 4); chứng minh rằng $\mathbf{R}$ tác động liên tục trên $X'$, rằng bốn điều kiện của Mệnh đề 4 được thỏa mãn và rằng $X'/\mathbf{R}$ là Hausdorff, nhưng rằng $\mathbf{R}$ không tác động đúng trên $X'$.