习题 4, § 1

a) 令 $E$ 为线性有序的集合。设$F$为$E$的元素的形式有限线性组合的$\mathbf{Z}$模，系数为$\mathbf{Z}$，定义为$F$上的线性有序群结构，取集合$F_+$ 元素$\geqslant 0$为$0$和所有线性组合$\sum_{\xi \in E} n(\xi) \xi \neq 0$的集合由……组成，使得$n(\xi) > 0$对于最大的元素$\xi \in E$使得$n(\xi) \neq 0$。证明 $E$ 可以与 $F_+$ 的共尾子集识别。

b) 假设$E$是良序的，并考虑将$E$的有界映射的群$G$纳入$F$。 定义 $G$ 上的线性有序群结构，将元素 $\geqslant 0$ 的集合 $G_+$ 变为$0$ 的集合由……组成并且所有有界映射将$E$的$x$转换为$F$，使得$x(\xi) > 0$对应最小的$\xi \in E$，从而$x(\xi) \neq 0$（字典顺序）。证明$G$相对于拓扑$\mathfrak{T}_0(G)$是完备的；此外，如果$E$是不可数的并且使得每个线段$]-, \xi] \ (\xi \in E)$都是可数的，则$G$中的开集合的每个可数交都是开的，并且$G$的每个紧凑子集都是有限的（cf.章） I, § 9、习题 4)。

c) 假设此后 E 是良序且不可数的，但每个线段 ]←, Ψ] 都是可数的。对于每个 ψ ∈ E，令 c_ψ 为 E 的常数映射，其值在每个点处为 ψ。 G_+ 中的 c_ψ 形式是并尾子集。令 E_0 为通过将元素 ω 与 E 邻接而获得的集合，并考虑拓扑 $\mathfrak{T}$，在集合 X = G × E_0 上，由以下集合生成： (i) V_{a, b, xi} = ]a, b[ × {xi}，对于 G 中的 a < b，且 xi ∈ E； (ii) W_{a, b, ψ} — 对于 G 中的 a < b 且 zel ε E，使得 c_zel >sup (|a|, |b|) — 对 (x, ω) 的由……组成，使得 a < x < b，且对 (x, ze) 使得 z ε E，ze ≥ ψ 且 a < x < b 或4c_z + a < x < 4c_z + b。证明 $\mathfrak{T}$ 是 Hausdorff，并且X（相对于 $\mathfrak{T}$）的每个紧致子集都是有限的。而且G根据律 (x, (y, z)) → (x + y, z) 对X连续运算；但是 G 在 X 上无法正常运行，尽管章 III, § 4, no. 2、命题 4 的条件 a)、b)、c) 和 d) 都满足，并且尽管对于紧凑子集 K 的每个对，L X, 集合 P(K, L) (章 III, § 4, no. 5, 定理 1) 是紧的。