Bài tập 4, § 1

a) Cho $E$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính. Cho $F$ là môđun $\mathbf{Z}$ của các tổ hợp tuyến tính hữu hạn hình thức của các phần tử của $E$ với các hệ số trong $\mathbf{Z}$, và định nghĩa một cấu trúc nhóm có thứ tự tuyến tính trên $F$ bằng cách lấy tập hợp $F_+$ gồm các phần tử $\geqslant 0$ là tập hợp gồm $0$ và tất cả các tổ hợp tuyến tính $\sum_{\xi \in E} n(\xi) \xi \neq 0$ sao cho $n(\xi) > 0$ đối với phần tử lớn nhất $\xi \in E$ thỏa mãn $n(\xi) \neq 0$. Chứng minh rằng $E$ có thể được đồng nhất với một tập con cofinal của $F_+$.

b) Giả sử rằng $E$ được sắp tốt, và xét nhóm $G$ gồm các ánh xạ bị chặn của $E$ vào $F$. Định nghĩa một cấu trúc nhóm có thứ tự tuyến tính trên $G$ bằng cách lấy tập hợp $G_+$ gồm các phần tử $\geqslant 0$ là tập hợp gồm $0$ và tất cả các ánh xạ bị chặn $x$ của $E$ vào $F$ sao cho $x(\xi) > 0$ đối với phần tử nhỏ nhất $\xi \in E$ thỏa mãn $x(\xi) \neq 0$ (thứ tự từ điển). Chứng minh rằng $G$ là đầy đủ đối với tôpô $\mathfrak{T}_0(G)$; nếu hơn nữa $E$ là không đếm được và sao cho mọi đoạn ]-, $\xi] \ (\xi \in E)$ đều đếm được, thì mọi giao đếm được của các tập mở trong $G$ là mở, và mọi tập con compact của $G$ đều hữu hạn (xem Chương I, § 9, Bài tập 4).

c) Từ đây về sau, giả sử rằng E được sắp tốt và không đếm được nhưng mọi đoạn ]←, ξ] đều đếm được. Với mỗi ξ ∈ E, gọi c_ξ là ánh xạ hằng của E vào E có giá trị tại mọi điểm bằng ξ. Các c_ξ tạo thành một tập con cofinal trong G_+. Gọi E_0 là một tập hợp thu được bằng cách thêm một phần tử ω vào E, và xét tôpô $\mathfrak{T}$, trên tập hợp X = G × E_0, sinh bởi các tập hợp sau: (i) V_{a, b, ξ} = ]a, b[ × {ξ} với a < b trong G và ξ ∈ E; (ii) W_{a, b, ξ} — đối với a < b trong G và ξ ∈ E sao cho c_ξ > sup (|a|, |b|) — gồm các cặp (x, ω) sao cho a < x < b, và các cặp (x, ζ) sao cho ζ ∈ E, ζ ≥ ξ và hoặc a < x < b hoặc 4c_ζ + a < x < 4c_ζ + b. Chứng minh rằng $\mathfrak{T}$ là Hausdorff và mọi tập con compact của X (đối với $\mathfrak{T}$) đều hữu hạn. Hơn nữa G tác động liên tục lên X theo luật (x, (y, ζ)) → (x + y, ζ); nhưng G không tác động đúng lên X, mặc dù các điều kiện a), b), c) và d) của Chương III, § 4, no. 2, Mệnh đề 4 được thỏa mãn và mặc dù, với mỗi cặp tập con compact K, L của X, tập P(K, L) (Chương III, § 4, no. 5, Định lý 1) là compact.